Вычисление предела функции

Для вычисления пределов определение предела функции малопригодно. При нахождении пределов обычно пользуются свойствами предела функции, известными пределами и некоторыми практическими приемами.

1. Как мы знаем, непрерывность функции y = f(x) в точке а означает, что $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ . В случае элементарной функции для вычисления предела достаточно проверить, определена ли функция в точке а, т. е. существует ли значение f(a). Если это так, то предел сразу вычисляется по приведенному выше равенству.

Пример 1.

Вычислим предел $lim_{x \to 2} (5 x^{2} - 4 x + 1)$ .

График функции y = 5x² – 4x + 1 является параболой – непрерывной линией. Значит, функция непрерывна и потому

$lim_{x \to 2} (5 x^{2} - 4 x + 1)$ = 5 ⋅ 2² – 4 ⋅ 2 + 1 = 20 – 8 + 1 = 13.

2. Некоторые пределы мы можем найти, опираясь на интуитивные соображения. Например,

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} = \infty$ ,

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

В самом деле, если знаменатель дроби \frac{1}{x^2} стремится к нулю, т. е. x принимает все меньшие по модулю значения, например, 1; 0,1; 0,01; 0,001; …, то значения \frac{1}{x^2} неограниченно увеличиваются: 1; 100; 10 000; 1 000 000; … .Если же значения х неограниченно увеличиваются, и х принимает, к примеру, значения 1, 1000, 1 000 000, 1 000 000 000, …, то значения величины \frac{1}{x} приближаются к нулю: 1; 0,001; 0,000 001; 0,000 000 001; … .

3. При вычислении предела функции часто удается воспользоваться свойствами предела. Так как предел функции определяется с помощью предела последовательности, то естественно, что свойства предела функции аналогичны свойствам предела последовательности:

1. $lim_{x \to a} c = c$ .

Если существуют конечные пределы $lim_{x \to a} f (x)$ ja $lim_{x \to a} g (x)$ , то выполнены следующие равенства:

2. $lim_{x \to a} [f (x) + g (x)] = lim_{x \to a} f (x) + lim_{x \to a} g (x)$ ,

3. $lim_{x \to a} [f (x) - g (x)] = lim_{x \to a} f (x) - lim_{x \to a} g (x)$ ,

4. $lim_{x \to a} [f (x) \cdot g (x)] = lim_{x \to a} f (x) \cdot lim_{x \to a} g (x)$ ,

5. $lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{lim_{x \to a} f (x)}{lim_{x \to a} g (x)}$ ,

6. $lim_{x \to a} [c \cdot f (x)] = c \cdot lim_{x \to a} f (x)$ .

Эти равенства справедливы и для предельных процессов x → ∞ и x → –∞.

Пример 2.

Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \tan x}{x - 3}$ .

Применим свойства предела:

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + \tan x}{x - 3}$ = $\frac{\lim_{x \to 0} (\cos x + \tan x)}{\lim_{x \to 0} (x - 3)}$ = $\frac{\lim_{x \to 0} \cos x + \lim_{x \to 0} \tan x}{\lim_{x \to 0} x - \lim_{x \to 0} 3}$ = \frac{\cos0+\tan0}{0-3} = \frac{1+0}{-3} = -\frac{1}{3}.

Пример 3. Найдем предел

\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}

Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ ,то $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}$ = $5 \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$ = 5 ⋅ 0 = 0.

Иногда свойства предела применить непосредственно не удается. Например, если нужно вычислить предел $\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}$ и оказывается, что $\lim_{x \to a} f (x) = 0$ и $\lim_{x \to a} g (x) = 0$ , то применить свойство предела частного нельзя. Формальная подстановка дает в этом случае \frac{0}{0}.Тогда говорят о неопределенности \frac{0}{0}. Существуют и другие неопределенности, например, \frac{∞}{∞}.

4. В случае неопределенности неопределенности $\frac{0}{0}$ дробь \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} стараются сократить на множитель, который дает неопределенность, т. е. обращает в нуль в рассматриваемом предельном процессе как числитель, так и знаменатель. Короче говоря, стараются освободиться от неопределенности.

Пример 4. Найдем предел

\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}

Вначале, предполагая, что функция y=\frac{x^2-4}{x+2} непрерывна в точке х = –2, попытаемся найти предел по образцу примера 1: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ = \frac{\left(-2\right)^2-4}{-2+2} = \frac{0}{0}.Результатом оказалась неопределенность, следовательно, нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы освободиться от неопределенности.Получим: $\lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ = $\lim_{x \to - 2} \frac{(x - 2) \overset{1}{(x + 2)}}{\underset{1}{(x + 2)}}$ = $\lim_{x \to - 2} (x - 2)$ = –2 –2 = –4.

Заметим, что в предельном процессе x → –2, предполагается, что х ≠ –2, и потому х + 2 ≠ 0, что позволяет сократить дробь.

Пример 5.

Найдем предел $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ .

В данном случае также получается неопределенность:

$\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ = \frac{9-9}{3-3} = \frac{0}{0}.Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение \sqrt{x}+3. Тогда $\lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ = $\lim_{x \to 9} \frac{(x - 9) (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}$ = $\lim_{x \to 9} \frac{\overset{1}{(x - 9)} (\sqrt{x} + 3)}{\underset{1}{x - 9}}$ = $\lim_{x \to 9} (\sqrt{x} + 3)$ = \sqrt{9}+3 = 6.

5. Неопределенность

\frac{\infty}{\infty}

возникает при вычислении предела

\lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)}

в том случае, когда и числитель, и знаменатель в рассматриваемом процессе стремятся к ∞ или –∞. Рассмотрим на примере, как можно освободиться от такой неопределенности.

Пример 6.

Вычислим предел $\lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{6} - 4 x^{2} + 8}{2 x^{6} + 4 x^{5} - x}$ .

Попытавшись применить свойства предела, получим неопределенность \frac{∞}{∞}. Чтобы устранить неопределенность, разделим числитель и знаменатель дроби на высшую степень переменной х, т. е. на выражение x⁶. Такое деление возможно, так как х → ∞ и потому x ≠ 0.Получим: $\lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{6} - 4 x^{2} + 8}{2 x^{6} + 4 x^{5} - x}$ = $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{6}}{x^{6}} - \frac{4 x^{2}}{x^{6}} + \frac{8}{x^{6}}}{\frac{2 x^{6}}{x^{6}} + \frac{4 x^{5}}{x^{6}} - \frac{x}{x^{6}}}$ = $\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{8}{x^{6}}}{2 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{5}}}$ .

Теперь применим свойства предела:

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{4}{x^{2}} + \frac{8}{x^{6}}}{2 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^{5}}}$ = $\frac{\lim_{x \to \infty} 5 - \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{6}}}{\lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$ = \frac{5-0+0}{2+0-0} = 2,5.

Пример 7. Найдем предел

\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} - 5 x}{x^{3} + 2 x - 1}

В данном случае мы имеем неопределенность \frac{∞}{-∞}. Разделим числитель и знаменатель дроби на выражение x³ (или x⁴) и получим: $\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} - 5 x}{x^{3} + 2 x - 1}$ = $\lim_{x \to - \infty} \frac{x - \frac{5}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}}$ = $\frac{\lim_{x \to - \infty} x - 0}{1 + 0 + 0}$ = -∞.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 811. Вычисление предела функции

\lim_{x \to 2} 5 x^{3}

\lim_{x \to 0,3} (x^{3} - 2 x - 1)

\lim_{x \to 25} 4 \sqrt{x}

\lim_{x \to - 3} 2^{x}

\lim_{x \to 100} \log x

\lim_{x \to - 1} (2 x^{2} - \frac{1}{x} + 3)

\lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin x

\lim_{x \to - 2, 2} \tan x

≈

\lim_{x \to 0} {0,4}^{x}

\lim_{x \to 0} 7 x^{3}

\lim_{x \to \infty} 3 x

\lim_{x \to 0} (x - 4)

\lim_{x \to - \infty} 8 x

\lim_{x \to 0} \frac{x}{7}

\lim_{x \to - \infty} x^{6}

\lim_{x \to 0} \frac{13}{x^{4}}

Задание 812. Вычисление предела функции

\lim_{x \to 1} \frac{x + 5}{x - 2}

\lim_{x \to 2} \frac{x + 5}{{(x - 2)}^{2}}

\lim_{x \to - 5} \frac{x + 5}{x - 2}

\lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 2}

\lim_{x \to - 3} \frac{x}{x + 8}

\lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{1 + x}

Задание 813. Вычисление предела функции

\lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x - 5}

\lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} - x}{x}

\lim_{x \to - 5} \frac{x^{2} - 2 x - 35}{6 (x + 5)}

Задание 814. Вычисление предела функции

\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{\sqrt{x} - 2}

\lim_{x \to 2} \frac{8 - x^{3}}{3 - \sqrt{x^{3} + 1}}

\lim_{x \to 25} \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}

Задание 815. Вычисление предела функции

\lim_{x \to \infty} \frac{8 x^{3} + 7 x^{2} - 4 x}{2 x^{2} - 8 x + 5}

\lim_{x \to \infty} \frac{x^{7} + 2 x^{3}}{3 x^{2} - 5}

\lim_{x \to \infty} \frac{12 x^{4} + x + 2}{x^{6} + 3 x^{3}}

\lim_{x \to \infty} \frac{x^{4} + 6 x}{3 x^{2}}

\lim_{x \to \infty} \frac{16 + x^{3}}{x^{5} - 2 x^{4}}

\lim_{x \to \infty} \frac{27 x^{2} - 11}{6 x^{2} + 5 x}

\lim_{x \to \infty} \frac{- x^{4}}{x^{3} + 10}

\lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{5}}{x^{2} + x^{4}}

\lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x + 1000}

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Вычисление предела функции

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 811. Вычисление предела функции

Задание 812. Вычисление предела функции

Задание 813. Вычисление предела функции

Задание 814. Вычисление предела функции

Задание 815. Вычисление предела функции

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid