1. Некоторые пределы находят частое применение в математике. Одним из таких пределов является уже известный нам предел последовательности
.
Оказывается, что если рассмотреть функцию , где x ∈ R, x ≠ 0, то эта функция имеет при своим пределом также число е, т. е.
Зная этот предел, можно показать, что .
В самом деле,
= = = = er, где
так как при u → ∞.
Пример 1.
- ,
- = = e–1.
2. Рассмотрим теперь предел .
В данном случае мы имеем неопределенность \frac{0}{0}, однако при решении задания 804 мы установили с помощью последовательностей, что
Докажем теперь это равенство строго. Рассмотрим единичную окружность, т. е. окружность с радиусом r, и ее центральный угол: ∠AOB = x, где 0<x<\frac{\pi}{2} (рис. 4.3).
Соединим отрезком точки A и B и проведем высоту BC треугольника ABO. Построим также прямоугольный треугольник ADO, где AD ⊥ OA.
Тогда площадь S1 треугольника OBA, площадь S2 кругового сектора OBA и площадь S3 треугольника ODA удовлетворяют следующим неравенствам:
S_1<S_2<S_3.
Выразим эти площади через радиус r и угол х. В треугольнике OBC катет BC=r\cdot\sin x и
S_1 = \frac{AO\cdot CB}{2} = \frac{r\cdot r\cdot\sin x}{2} = 0,5r^2\sin x.
Площадь сектора
S_2=0,5xr^2.
В треугольнике ODA выполнены соотношения AD=AO\cdot\tan x=r\cdot\tan x и
S_3 = \frac{AO\cdot AD}{2} = \frac{r\cdot r\cdot\tan x}{2} = 0,5r^2\tan x.
Поскольку S_1<S_2<S_3, то
0,5r^2\sin x<0,5r^2x<0,5r^2\tan x
или
\sin x<x<\tan x.
Так как sin x > 0, то, разделив последние неравенства почленно на выражение sin x, получим неравенства
1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}, откуда 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x.
Теперь, если x\to0, то \cos x\to1 и величина \frac{\sin x}{x} оказывается заключенной между числом 1 и величиной, стремящейся к 1. Следовательно,
\frac{\sin x}{x}\to1 при x\to0, т. е. .
До сих пор мы предполагали, что x > 0. Можно показать, что при x → 0, x < 0 получается тот же результат. Таким образом,
.
Пример 2.
Найдем предел .
При x\to0, мы получаем в данном случае неопределенность \frac{0}{0}. Попробуем освободиться от неопределенности:
= = = 1\cdot\frac{1}{1} = 1.
Итак, .
Пример 3.
Вычислим предел .
При непосредственном вычислении предела получим неопределенность \frac{0}{0}. Рассмотрим два способа, позволяющие освободиться от неопределенности.
- Обозначим u=3x, тогда x=\frac{u}{3}. Если x\to0, то u\to0. Следовательно,
= = = = \frac{3}{2}. - Вычислим предел следующим образом:
= = = = \frac{3}{2}\cdot1 = \frac{3}{2}.
Из равенства следует, что при достаточно малых величинах угла х (в радианах) справедливо приближенное равенство \frac{\sin x}{x}\approx1, иначе говоря,
sin x ≈ x, если радианная мера угла x достаточно мала.
Пример 4.
1) sin 0,0504 ≈ 0,05038; 2) sin 0,0023 ≈ 0,002299998.
На основании примера 2 получим, что
tan x ≈ x, если радианная мера угла x достаточно мала.
На практике можно считать, что \sin x=x и \tan x=x, если 0\le x<0,0873.
Предел используется и в некоторых доказательствах.
Пример 5.
Определив длину окружности и площадь круга как пределы, мы нашли с помощью интуитивных рассуждений (вычисляя значения некоторых величин при n → ∞), что если n → ∞, то n\cdot\sin\frac{\pi}{n}\to\pi. Докажем теперь строго, что .
Введем новую переменную \frac{\pi}{n}=\mathrm{\alpha}. Если n\to∞, то \mathrm{\alpha}\to0. Сделаем замену переменной n=\frac{\pi}{\mathrm{\alpha}}.
Тогда = = = \pi\cdot1 = \pi.
