Приращение функции

Пусть дана непрерывная функция y = f (x). Возьмем некоторое значение x₁ ее аргумента (которое будем считать начальным) и другое значение x₂ (которое будем считать конечным). Разность x₂ – x₁ этих значений называется приращением аргумента[понятие: Приращение аргумента (argumendi muut) – разность Δ𝑥 = 𝑥₂ – 𝑥₁ двух значений 𝑥₁ и 𝑥₂ аргумента функции.] (или приращением значения аргумента) и обозначается символом[cноска: Δ– дельта, четвертая заглавная буква греческого алфавита.] Δx (читается: дельта икс). Таким образом,

Δx = x₂ – x₁.

Поэтому x₂ = x₁ + Δx, откуда следует, что величина Δx показывает изменение значения аргумента по сравнению со значением х₁. Величина может быть как положительной, так и отрицательной (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Новое значение f(x₂) функции y = f(x) отличается от прежнего значения f(x₁) на величину f(x₂) – f(x₁), которая называется приращением функции[понятие: Приращение функции (funktsiooni muut) – разность Δ𝑦 = 𝑓(𝑥₂) – 𝑓(𝑥₁) двух значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), соответствующая двум значениям 𝑥₁ и 𝑥₂ аргумента. Если обозначить Δ𝑥 = 𝑥₂ – 𝑥₁, то Δ𝑦 = 𝑓(𝑥₁ + Δ𝑥) – 𝑓(𝑥₁).] и обозначается символом Δy.

Δy = y₂ – y₁ = f (x₂) – f (x₁).

Рис. 4.5

Рис. 4.6

Приращение Δy также может быть как положительным (рис. 4.5), так и отрицательным (рис. 4.6), а также равным нулю.

Пример 1.

Найдем приращения аргумента и функции, если y=3x^2-1, x_1=3, x_2=5. Приращение аргумента \Delta x=5-3=2. Соответствующее приращение функции\Delta y=y_2-y_1 = \left(3\cdot5^2-1\right)-\left(3\cdot3^2-1\right) = \left(75-1\right)-\left(27-1\right) = 48.

Рис. 4.7

При данных начальном значении аргумента х и приращении аргумента Δx заметим, что конечное значение аргумента есть x + Δx (рис. 4.7). Соответствующие значения функции есть f(x) и f(x + Δx), следовательно,

Δy = f (x + Δx) – f (x).

* Эта формула выражает приращение функции y = f(x) в точке х. Из формулы видно, что приращение функции зависит от двух величин: от выбранной точки х и значения Δx. *

Пример 2. Найдем общее выражение приращения функции y = 2x² + 3x – 4. Так как \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right), то в случае данной функции:\Delta y = \left[2\left(x+\Delta x\right)^2+3\left(x+\Delta x\right)-4\right]-\left(2x^2+3x-4\right) = 2x^2+4x\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2+3x+3\Delta x-4-2x^2-3x+4 = 4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.Ответ: \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.

Пример 3. Вычислим приращение функции y = 2x² + 3x – 4: 1) в точке x = 0, если Δx = 2; 2) в точке x = 2,2, если Δx = 0,9. Воспользуемся полученной в предыдущем примере формулой Δy = 4xΔx + 3Δx + 2(Δx)²:

Δy = 4 ⋅ 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2² = 14;
Δy = 4 ⋅ 2,2 ⋅ 0,9 + 3 ⋅ 0,9 + 2 ⋅ 0,9² = 12,24.

Отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} выражает изменение значения функции, приходящееся на единицу изменения аргумента. Такая величина может быть названа средней скоростью изменения функции[понятие: Средняя скорость изменения функции (funktsiooni muutumise keskmine kiirus) – отношение Δ𝑦:Δ𝑥, где Δ𝑦 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) – 𝑓(𝑥). Означает изменение значения функции, приходящееся на единицу изменения аргумента.] (начиная от значения х до значения x + Δx).

Пример 4. Для рассмотренного примера 3 в случае 1) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{14}{2}=7 и в случае 2) \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12,24}{0,9}=13,6. Значит на промежутке [0; 2] средняя скорость изменения функции y = 2x² + 3x – 4 будет меньшей, чем средняя скорость изменения той же функции на промежутке [2,2; 3,1].

Пример 5. При свободном падении длина пути, пройденного телом, выражается формулой s=\frac{gt^2}{2}, где g = 9,8 м/с² есть ускорение свободного падения и t – время падения в секундах. Найдем приращение функции s=\frac{gt^2}{2}: \Delta s = \frac{g\left(t+\Delta t\right)^2}{2}-\frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\left[2t\cdot\Delta t+\left(\Delta t\right)^2\right].Эта формула позволяет вычислить длину Δs пройденного пути за Δt секунд. Но те же данные позволяют найти и среднюю скорость v_{cp.}=\frac{\Delta s}{\Delta t} на участке пути между моментами времени t и t + Δt. Найдем, например, на сколько упадет тело и какова его средняя скорость: 1) начиная с момента t = 0 за Δt = 2; 2) если t = 10 и Δt = 3. Получим:

если t = 0 и Δt = 2, то Δs = 2g =19,6 (м), ning $v_{c p} = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{19,6}{2} = 9,8$ м/с;
если t = 10 и Δt = 3, то \Delta s=\frac{69\ г}{2}=338,1\ \mathrm{\left(м\right)}, $v_{c p} = \frac{Δ s}{Δ t} = 112,7$ м/с.

Согласно определению (см. § 4.2), функция y = f(x) непрерывна в точке a, если $\lim_{x \to a} f (x) = A,$ т. е. f(x) → f(a), при x\to a (рис. 4.8). Отсюда следует, что если x – a → 0, то и f(x) – f(a) → 0, иными словами, если Δx → 0, то и Δy → 0. Значит, если функция непрерывна в точке а, то при стремлении приращения аргумента (взятого в точке а) к нулю соответствующее приращение функции также стремится к нулю.Верно и обратное, т. е. если Δy → 0 при Δx → 0, то функция непрерывна в точке а.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Таким образом,

функция y = f (x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда при стремящемся к нулю приращении аргумента Δx соответствующее приращение функции Δy = f (a + Δx) – f (a) также стремится к нулю, т. е.

lim_{Δ x \to 0} Δ y = 0

Если функция разрывна в точке а таким образом, что она определена в некоторой окрестности этой точки, но не определена в самой точке а, то значение Δy нельзя найти. Функция также может быть определена в точке а, но имеет в этой точке разрыв в виде скачка (рис. 4.9). В последнем случае Δy не может стремиться к нулю при Δx → 0, так как Δy > h > 0.

Пример 6.

* Исследуем на непрерывность функцию y = 2x² + 3x – 4 (см. пример 2).

Приращение функции выражается в виде \Delta y=4x\Delta x+3\Delta x+2\left(\Delta x\right)^2.Так как $\lim_{Δ x \to 0} Δ y = \lim_{Δ x \to 0} [4 x Δ x + 3 Δ x + 2 {(Δ x)}^{2}] = 0$ при любом конкретном значении аргумента x, то рассматриваемая функция непрерывна на всей области определения, т. е. на множестве R. *

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 819. Значения функции

f\left(2\right), f\left(-1\right), f\left(4,5\right), если y=3x-2x^2+4.

f\left(2\right) = =

f\left(-1\right) = =

f\left(4,5\right) = =

f\left(0,5\right), f\left(a\right), f\left(a-2\right), если y=4^x.

f\left(0,5\right) = =

f\left(a\right) = =

f\left(a-2\right) = =

f\left(0\right), f\left(a+1\right), f\left(x-3\right), если y=x^2-2x.

f\left(0\right) = =

f\left(a+1\right) = =

f\left(x-3\right) = =

f\left(2x\right), f\left(-x\right), если y=\frac{x}{2-x}.

f\left(2x\right) = =

f\left(-x\right) = =

Задание 820. Приращение функции

y=x^2-3, x_1=2, x_2=3.

\Delta y = =

y=2x^2-4x, x_1=-2, x_2=0.

\Delta y = =

y=\frac{1}{x}, x_1=2, x_2=2,5.

\Delta y = =

y=\sin x, x_1=\frac{\pi}{6}, x_2=\frac{\pi}{4}.

\Delta y = =

Задание 821. Общее выражение для приращения функции

y=x^2
\Delta y =

y=\frac{3}{x}
\Delta y =

y=4x-8
\Delta y =

y=\cos x
\Delta y =

y=e^x
\Delta y =

y=\ln x
\Delta y =

Задание 822. Приращение функции

y=x^2 и

x=1, \Delta x=0,5
\Delta y = =
x=-1, \Delta x=2
\Delta y = =

y=\frac{3}{x} и

x=-5, \Delta x=2

\Delta y = =

y=4x-8 и

x=-2, \Delta x=3
\Delta y = =
x=2,5, \Delta x=-1
\Delta y = =

y=\cos x и

x=\frac{\pi}{3}, \Delta x=\frac{\pi}{6}

\Delta y = =

y=e^x и

x=0, \Delta x=0,25
\Delta y = =
x=4, \Delta x=3
\Delta y = =

y=\ln x и

x=0,8, \Delta x=-0,2

\Delta y = =

Задание 823. Линейная функция

Задание 824. Длина пути, пройденного телом

Найдите, какова средняя скорость тела:

начиная с момента t = 0 в последующие 4 секунды;
Ответ: v_{ср} = м/с
с момента t = 4 в течение одной следующей секунды;
Ответ: v_{ср} = м/с
с момента t = 5 в течение 2 следующих секунд.
Ответ: v_{ср} = м/с

Задание 825. Средняя скорость изменения функции

y=x^2
v_ср =

y=\frac{3}{x}
v_ср =

y=4x-8
v_ср =

y=\cos x
v_ср =

y=e^x
v_ср =

y=\ln x
v_ср =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Приращение функции

Seotud sisu

Упражнения A

Задание 819. Значения функции

Задание 820. Приращение функции

Задание 821. Общее выражение для приращения функции

Задание 822. Приращение функции

Задание 823. Линейная функция

Задание 824. Длина пути, пройденного телом

Задание 825. Средняя скорость изменения функции

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid