Мгновенная скорость

Пусть точка движется вдоль некоторой линии, на которой выбраны точка О (начало отсчета), поло­жительное направление и единица измерения. Аналогично тому, как расположение точки Р на числовой прямой описывается ее координатой х, так и расположение точки А на данной линии в любой момент времени характеризуется ее координатой s – это длина дуги, соединяющей точку с началом отсчета О, если точка А расположена в положительном направлении от точки О. Если же точка А расположена в отрицательном направлении, то ее координата s будет отрицательным числом. Зависимость координаты s от времени t называется законом движения[понятие: Закон движения (liikumisseadus) – функция, выражающая расстояние 𝑠 от движущейся точки до начала отсчета (некоторой точки 𝑂) в любой момент времени 𝑡.] (точки). Например, закон движения материальной точки при свободном падении выражается формулой

s=\frac{gt^2}{2}.

В общем случае закон движения выражается равенством s = f (t). Тогда расстояние Δs, пройденное за промежуток времени \left[t;\ t+\Delta t\right], есть разность расстояний, соответствующих моментам времени t + Δt и t, т. е. равно приращению функции s = f(t):

\Delta s=f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right).

Средняя скорость[понятие: Средняя скорость (keskmine kiirus) – отношение Δ𝑠 :Δ𝑡. Соответствует промежутку между 𝑡 и 𝑡 + Δ𝑡.] v_cp движения за промежуток \left[t;\ t+\Delta t\right] будет равна:

v_{cp}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{f\left(t+\Delta t\right)-f\left(t\right)}{\Delta t}.

Таким образом,

если \Delta t\to0, то \frac{\Delta s}{\Delta t}\to v, или v_{ср}\to v.

С помощью понятия предела функции сказанное можно записать так:

$$ v=\underset{\text{Δ}t\to 0}{\lim }{v}_{\mathrm{ср}}$$ или $$ v=\underset{\text{Δ}t\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}s}{\text{Δ}t}$$.

В словесной формулировке: мгновенная скорость в момент t есть предел отношения приращения функции (Δs) к приращению аргумента (Δt), когда приращение аргумента стремится к нулю.