Касательная к графику функции

Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (рис. 4.11). В случае произвольной линии такое определение непригодно, так как касательная может иметь с данной линией и несколько общих точек (на рисунке 4.12 касательная s имеет с линией, кроме точки касания P, еще две общие точки A и B).

Рис. 4.11
Рис. 4.12

Чтобы определить касательную s к некоторой линии в точке Р этой линии, введем понятие секущей – это прямая s1, проведенная через точку P и через некоторую другую точку P1 данной линии (рис. 4.12). Если теперь точка Р1 будет неограниченно приближаться вдоль линии к точке Р (на рисунке 4.14 показаны некоторые промежуточные положения секущей – прямые s2 = РР2 и s3 = РР3), то результатом такого предельного процесса и будет касательная s. Процесс получения касательной можно проследить на компьютере, например, с помощью программы GeoGebra. Точку Р называют точкой касания.

Таким образом,

касательной к линии[понятие: Касательная к линии в данной точке (joone puutuja) – прямая  𝑠, проходящая через точку 𝑃 данной линии, являющаяся предельным положением секущей 𝑃𝑄 при неограниченном приближении точки 𝑄 вдоль линии к точке 𝑃 (см. рис. 4.13 ).] в точке P этой линии называется проходящая через точку Р прямая s, являющаяся предельным положением секущей PP1 при неограниченном приближении точки P1 вдоль линии к точке P.

Пусть рассматриваемая линия является графиком некоторой функции y = f (x). Найдем угловой коэффициент касательной s, проведенной через точку P(x0; y0) (рис. 4.13).

Рис. 4.13

Придадим аргументу x0 приращение Δx, тогда новым значением аргумента будет x0 + Δx, которому соответствует на графике точка Q. Пусть α – угол наклона касательной, а β – угол наклона секущей PQ. Проведем параллельный оси абсцисс отрезок PR, как показано на рисунке 4.13. Тогда из прямоугольного треугольника PQR получим угловой коэффициент секущей:

\tan\mathrm{\beta}=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Если точка Q будет неограниченно приближаться вдоль графика к точке P, то Δx\to0, а угол β будет стремиться к углу α т. е. \mathrm{\beta}\to\mathrm{\alpha}. Но тогда также \tan\mathrm{\beta}\to\tan\mathrm{\alpha}, т. е. \frac{\Delta y}{\Delta x}\to\tan\mathrm{\alpha}. Величина k = tan α является угловым коэффициентом касательной s. Таким образом, если Q\to P, то Δx\to0 и \frac{\Delta y}{\Delta x}\to k, т. е. в словесной формулировке:

угловой коэффициент касательной[понятие: Угловой коэффициент касательной (puutuja tõus) – угловой коэффициент прямой, являющейся касательной.] к графику функции есть величина, к которой стремится отношение приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, если приращение аргумента стремится к нулю.

С помощью понятия предела функции получим, что

k=tan α=limΔx→0ΔyΔx.

Сформулируем: угловой коэффициент касательной к графику функции равен пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

* Угловой коэффициент k прямой в эстонской математической литературе называется одним словом «tõus» – наклон[понятие: Наклон прямой (sirge tõus) – то же, что и угловой коэффициент прямой.]. *

Пример.

Выведем формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции y=\frac{1}{x} в произвольной точке (рис. 4.14). Найдем также угол наклона и угловой коэффициент касательной, проведенной через точку А с абсциссой х = 1.

Рис. 4.14

Пусть (x; y) – точка графика, через которую проведена касательная. Поскольку

\Delta y = \frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x} = \frac{x-x-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)} = \frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)},

то \frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{x\left(x+\Delta x\right)} и

при \Delta x\to0, \frac{\Delta y}{\Delta x}\to-\frac{1}{x^2}

или  k=limΔx→0ΔyΔx = limΔx→0-1x(x+Δx) = -1x2.

Полученная формула k=-\frac{1}{x^2} позволяет вычислить угловой коэффициент касательной в любой точке графика функции y=\frac{1}{x}.

Ордината точки А есть y = 1 : 1 = 1, т. е. A(1; 1). Из формулы углового коэффициента получим, что k = –1 : 1 = –1. Так как касательная – это прямая с угловым коэффициентом –1 = tan α, то α = 135°.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 828. Касательная к графику функции

  • Ответ: k = 
  • Найдите угловой коэффициент и угол наклона касательной:
    1. в точкеA\left(0;\ -1\right).

      Ответ: k = , α = 
    2. в точке с абсциссойB\left(\frac{1}{3};\ y\right).

      Ответ: k = , α = 
    3. в точке с абсциссой \frac{1}{6}.

      Ответ: k = , α = 
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 829. Касательная к графику функции
  • Выведите формулу для вычисления углового коэффициента касательной к графику функции y=\sqrt{x}.

    Ответ: k = 
  • Какой угловой коэффициент имеет касательная, проведенная через точку с абсциссой x = 25?

    Ответ: k = 
  • Найдите соответствующий угол наклона касательной.

    Ответ: α ≈ 
Seotud sisu
Muud tegevused