Производная функции

При определении мгновенной скорости, а также нахождении углового коэффициента касательной мы пришли к вычислению предела $$ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x},$$ т. е. к пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Эту величину называют производной функции[понятие: Производная функции (funktsiooni tuletis) – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.] и обозначают f '(x) или [f (x)]'. Таким образом:

Если функция y = f (x) имеет в точке х₀ производную, то говорят, что эта функция дифференцируема[понятие: Дифференцируемая в данной точке функция (antud kohal diferentseeruv funktsioon) – функция, имеющая в данной точке производную.] в точке х₀. Производная f '(x₀) – это некоторое число.

Если функция дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка Х числовой прямой (иначе говоря, дифференцируема на множестве[понятие: Дифференцируемая на данном множестве функция (antud hulgal diferentseeruv funktsioon) – функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества.] Х), то каждой точке х ∈ Х соответствует конкретное число – производная f ′(x). Значит, на промежутке Х возникает новая функция f ′(x), которую также называют производной[понятие: Производная [как функция] (tuletisfunktsioon, tuletis) – функция 𝑦 = 𝑓′(𝑥), ставящая в соответствие каждому значению аргумента 𝑥₀  функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) из некоторого промежутка 𝑋 значение производной данной функции в точке 𝑥₀.]. Чаще всего мы будем находить производную именно как функцию.

На основании предыдущих разделов мы теперь можем сказать, что:

В случае примера из предыдущего раздела можно теперь сказать, что производная функции y=\frac{1}{x} есть y´=-\frac{1}{x^2}, т. е.

Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием[понятие: Дифференцирование функции (funktsiooni diferentseerimine) – нахождение производной данной функции.] этой функции. Раздел математики, в котором изучаются производные и связанные с ними понятия, а также различные применения производной, называется дифференциальным[cноска: От латинского слова differentia – разность, различие.] исчислением. Возникновение дифференциального исчисления[понятие: Дифференциальное исчисление (diferentsiaalarvutus) – раздел математики, в котором изучаются производные и связанные с ними понятия, а также различные применения производной.] восходит ко второй половине XVII века. Создателями его стали (независимо друг от друга) английский физик, астроном и математик Исаак Ньютон (I. Newton, 1643–1727) и немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (G. W. Leibniz, 1646–1716). Открытие дифференциального исчисления и последующие успехи математики имели решающее значение для развития техники и производства в последние столетия.

Можно показать, что справедливо следующее утверждение:

Из рассуждений примеров 3, 4 и 5 § 4.5 следует, что отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} можно рассматривать как среднюю скорость изменения функции на промежутке, т. е. как величину, выражающую среднее изменение функции, приходящееся на единицу изменения аргумента. Производную

$$ y\text{'}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$$

можно в этом случае истолковать как мгновенную скорость изменения функции в точке x.

Если функция y = f (x) описывает некоторый процесс, то величины \frac{\Delta y}{\Delta x} и f '(x) выражают соответственно среднюю и мгновенную скорости этого процесса относительно аргумента х. Пусть, например, функция y = f (x) выражает зависимость длины у металлического стержня от его температуры х. Тогда \frac{\Delta y}{\Delta x} есть средняя скорость изменения длины стержня относительно температуры, а f ′(x) есть мгновенная скорость изменения длины при температуре х градусов.