Производные суммы и произведения функций

Согласно определению, для нахождения производной функции y = f (x) нужно:

1. найти приращение функции, т. е. Δy;
2. выразить отношение приращения функции к приращению аргумента, т. е. \frac{\Delta y}{\Delta x};
3. найти выражение, к которому стремится \frac{\Delta y}{\Delta x} при Δx → 0, т. е.

$$ y\text{'}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$$.

Нахождение производной непосредственно с помощью определения является очень трудоемким. Поэтому при нахождении производных пользуются производными основных элементарных функций и правилами дифференцирования. Приступим к выводу таких соотношений и правил.

1. ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННОЙ ФУНКЦИИ.

Постоянная функция имеет одно и то же значение с при всех значениях аргумента x ∈ R, т. е. задается формулой 

y = c.

Найдем ее производную по определению производной.

1. 1) Δy = f (x + Δx) – f (x) = c – c = 0;
2. \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0;
3. $$ y\text{'}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }0=0$$, или

2. ПРОИЗВОДНАЯ АРГУМЕНТА.

Найдем производную функции y = x.

Применим определение производной:

Δy = f (x + Δx) – f (x) = (x + Δx) – x = Δx,

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1,

$$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\text{lim}}\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}=\underset{\text{Δ}x\to 0}{\text{lim}}1=1$$.

3. ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ ФУНКЦИЙ.

Пусть функции y = f (x) и y = g (x) имеют производные в точке x. Найдем правило, позволяющее продифференцировать их сумму, т. е. найти производную функции f (x) + g (x).

Применим к функции y = f (x) + g (x) определение производной:

\Delta y = \left[f\left(x+\Delta x\right)+g\left(x+\Delta x\right)\right]-\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right] = \left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]+\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right];

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]+\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right]}{\Delta x} = \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}+\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x};

$$ \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{'}$$ = $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$$ = $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x + \text{Δ}x\right) - f\left(x\right)}{\text{Δ}x}+\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x + \text{Δ}x\right) - g\left(x\right)}{\text{Δ}x}$$.

Так как первое из слагаемых есть производная f '(x) функции y = f (x), а второе слагаемое есть производная g'(x) функции y = g (x), то

Правило дифференцирования суммы функций распространяется на случай любого конечного числа слагаемых. Например,

\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)+h\left(x\right)\right]^' = \left\{\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]+h\left(x\right)\right\}^' = \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]^'+h'\left(x\right) = f'\left(x\right)+g'\left(x\right)+h'\left(x\right).

4. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ.

Пусть функции y = f (x) и y = g (x) имеют производные в точке x. Найдем правило, позволяющее продифференцировать их произведение, т. е. функцию у = f (x) · g (x).

Чтобы применить определение производной, найдем приращение функции y = f (x) · g (x).

\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right).

Прибавим и одновременно вычтем из правой части произведение g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right) и преобразуем выражение следующим образом:

\Delta y = f\left(x+\Delta x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right)+g\left(x+\Delta x\right)\cdot f\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right) = \left[f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\right]\cdot g\left(x+\Delta x\right)+f\left(x\right)\cdot\left[g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\right].

Отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} запишем в виде

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\cdot g\left(x+\Delta x\right)+f\left(x\right)\cdot\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}.

Теперь получим:

$$ \left[f\left(x\right)·g\left(x\right)\right]\text{'}$$ = $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}$$ = $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\left[\frac{f\left(x + \text{Δ}x\right) - f\left(x\right)}{\text{Δ}x}·g\left(x+\text{Δ}x\right)\right]+\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\left[f\left(x\right)·\frac{g\left(x + \text{Δ}x\right) - g\left(x\right)}{\text{Δ}x}\right]$$ = $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x + \text{Δ}x\right) - f\left(x\right)}{\text{Δ}x}·\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }g\left(x+\text{Δ}x\right)+\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }f\left(x\right)·\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }\frac{g\left(x + \text{Δ}x\right) - g\left(x\right)}{\text{Δ}x}$$ = $$ f\text{'}\left(x\right)·g\left(x\right)+f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)$$

Здесь мы учли два обстоятельства: 1) функция y = g(x) дифференцируема в точке х, а потому и непрерывна, следовательно, $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }g\left(x+\text{Δ}x\right)=g\left(x\right)$$, 2) $$ \underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x\right)$$, так как f(x) в процессе Δx → 0 не меняется, т. е. является постоянной относительно Δx.

Таким образом,

Найдем общее выражение для производной [cf (x)]' где c – некоторая постоянная:

\left[cf\left(x\right)\right]^' = c′\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = 0\cdot f\left(x\right)+c\cdot f′\left(x\right) = cf′\left(x\right).

5. ПРОИЗВОДНАЯ РАЗНОСТИ ДВУХ ФУНКЦИЙ.

Пусть функции y = f (x) и y = g (x) дифференцируемы в точке x. Выведем правило дифференцирования разности f (x) – g (x).

Применим правила дифференцирования суммы функций и произведения функции на число:

[f (x) – g (x)]' = [f (x) + (–1) ⋅ g (x)]' = f '(x) + [(–1) ⋅ g (x)]' = f '(x) + (–1) ⋅ g '(x) = f '(x) – g '(x).

В заданиях 829 и 832 мы нашли, что