Производная частного

Пусть функции y = f (x) и y = g (x) дифференцируемы в точке x, причем g (x) ≠ 0. Выведем правило дифференцирования частного y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}.

Применим к функции y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} определение производной. Выразим приращение функции:

\Delta y = \frac{f\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x+\Delta x\right)}-\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} = \frac{g\left(x\right)\cdot f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}{g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}.

К числителю последней дроби прибавим и одновременно вычтем из него выражение g (x) · f (x), после чего преобразуем отношение \frac{\Delta y}{\Delta x}:

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{g\left(x\right)\cdot f\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\cdot f\left(x\right)-\left[f\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)\cdot f\left(x\right)\right]}{\Delta x\cdot g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)} = \frac{g\left(x\right)\cdot\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}-f\left(x\right)\cdot\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}}{g\left(x\right)\cdot g\left(x+\Delta x\right)}.

Так как limΔx→0gx=gx, limΔx→0fx=fx, limΔx→0fx + Δx - fxΔx=f'x, limΔx→0gx + Δx - gxΔx=g'x, limΔx→0gx+Δx=gx (из дифференцируемости функции y = g(x) следует ее непрырывность), то вычислив предел limΔx→0ΔyΔx, получим:

[fxgx]'=f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)[gx]2.

Пример 1.

Найдем производную функции y=\frac{x^2}{x+1}.

Так как \left(x^2\right)^'=2x, то по формуле производной частного получим:

y' = \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^' = \frac{\left(x^2\right)^'\cdot\left(x+1\right)-x^2\left(x+1\right)^'}{\left(x+1\right)^2} = \frac{2x\left(x+1\right)-x^2\cdot1}{\left(x+1\right)^2} = \frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)^2}.

Пример 2.

Найдем производную \left(x^{-2}\right)^'.

Так как x^{-2}=\frac{1}{x^2}, то \left(x^{-2}\right)^' = \left(\frac{1}{x^2}\right)^' = \frac{1'\cdot x^2-1\cdot\left(x^2\right)^'}{\left(x^2\right)^2} = \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3} = -2x^{-3}.

Перед нахождением производной стоит посмотреть, нельзя ли упростить для этой цели выражение функции.

Пример 3.

Найдем производную функции y=\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}.

Поскольку \frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x} = \frac{x^2-2x\sqrt{x}+x}{x} = x-2\sqrt{x}+1,

то \left[\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)^2}{x}\right]^' = \left(x-2\sqrt{x}+1\right)^' = 1-\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = \frac{x-\sqrt{x}}{x}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 844. Производная функции

y=\frac{2x+3}{x^2}
y' = 

y=\frac{x+1}{x-1}
y' = 

y=\frac{4}{x^2}
y' = 

y=\frac{x^2-1}{x^2+1}
y' = 

y=\frac{8x}{1-3x^2}
y' = 

y=5x^{-2}
y' = 

Задание 845. Значение производной в данной точке

Найдите значение производной функции y=\frac{5x}{2-3x} в точке: 1) 0; 2) \frac{2}{3}; 3) 2; 4) –1.

y' = 

  1. y'(0) = 
  2. y'\left(\frac{2}{3}\right) = 
  3. y'(2) = 
  4. y'(–1) = 
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 846. Производная функции

y=\frac{x^2}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{1}{x\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}
y' = 

y=\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}
y' = 

y=\sqrt{x}+\frac{x}{\sqrt{x}}
y' = 

y=x\sqrt{x}
y' = 

Задание 847. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной к графику функции в данной точке

 y=\frac{5x}{2-3x} в точках: 1) 0; 2) \frac{2}{3}; 3) 2; 4) –1.

y' = 

  1. k = , α = , y = 
  2. k = , α = , y = 
  3. k = , α = , y = 
  4. k = , α = , y = 
Seotud sisu
Muud tegevused