Производная степенной функции

Рассмотрим сначала функцию y = xn, где n ∈ N, n ≥ 1. При решении задания 835 мы получили, что

\left(x^1\right)^'=1,

\left(x^2\right)^'=2x^1=2x,

\left(x^3\right)^'=3x^2.

Найдем еще производную функции \left(x^4\right)^'. \left(x^4\right)^' = \left(x\cdot x^3\right)^' = x'\cdot x^3+x\cdot\left(x^3\right)^' = x^3+x\cdot3x^2 = x^3+3x^3 = 4x^2.

Рассуждая аналогично, мы видим, что для нахождения производной (xn)' нужно взять в качестве коэффициента показатель степени n и умножить его на степень х с показателем, который на 1 меньше первоначального. Таким образом, если n ∈ N, n ≥ 1, то

(xn)'=nxn-1.      (1)

Заметим, что и для x0 получается такой же результат, так как \left(x^0\right)^'=1'=0 и, в то же время, \left(x^0\right)^'=0\cdot1^{-1}=0.

Найдем теперь производную функции y = xn, где n ∈ Z–. Так как n < 0, то можно обозначить n = –k, где k ∈ Z+.

\left(x^n\right)^' = \left(x^{-k}\right)^' = \left(\frac{1}{x^k}\right)^' = \frac{1'\cdot x^k-1\cdot\left(x^k\right)^'}{\left(x^k\right)^2} = -\frac{kx^{k-1}}{x^{2k}} = -kx^{-k-1} = nx^{n-1}.

Значит, получена та же формула (1), что и в случае n ∈ Z+.

Примем без доказательства, что и для любого показателя r ∈ R справедлива формула

(xr)'=rxr-1.       (2)

Пример 1.

По только что доказанной формуле получим: \left(x^6\right)^'=6x^5;   \left(x^{123}\right)^'=123x^{122};   \left(x^{1000}\right)^'=1000x^{999}.

Пример 2.

Найдем производную функции y=8x^7-3x^6-2x^2+2. По доказанным выше правилам дифференцирования и формуле (1) получим:

y' = \left(8x^7-3x^6-2x^2+2\right)^' = \left(8x^7\right)^'-\left(3x^6\right)^'-\left(2x^2\right)^'+2' = 8\left(x^7\right)^'-3\left(x^6\right)^'-2\left(x^2\right)^'+0 = ​56x^6-18x^5-4x.

Пример 3.

Найдем производную функции y=4x^{-8}.

y' = \left(4x^{-8}\right)^' = 4\left(x^{-8}\right)^' = 4\cdot\left(-8x^{-9}\right) = -32x^{-9}.

Пример 4.

На основании общей формулы (2) получим:

  1. \left(\sqrt[3]{x}\right)^' = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} = \frac{\sqrt[3]{x}}{3x},
  2. \left(x^{4,08}\right)^' = 4,08\cdot x^{4,08-1} = 4,08\cdot x^{3,08}.

Пример 5.

Найдем производную функции y=\frac{x^7\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt{x}}.

Данное выражение неудобно для дифференцирования, поэтому преобразуем его:

\frac{x^7\sqrt[5]{x^3}}{\sqrt{x}} = x^7\cdot x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^7\cdot x^{\frac{1}{10}} = x^{7,1}.

Следовательно, y=x^{7,1} и потому \left(x^{7,1}\right)^'=7,1x^{6,1}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 848. Производная функции

y=x^8
y' = 

y=x^{10}
y' = 

y=2x^7
y' = 

y=x^5
y' = 

y=x^{101}
y' = 

y=-4x^3
y' = 

Задание 849. Производная функции

y=12x^5+10x^4-3x^2+x
y' = 

y=3x^5+5x^3-x^2+4
y' = 

y=-x^{11}+6x^5+2x-1
y' = 

y=3x^{22}-6x
y' = 

y=3x^9+2x^8+x^7-4x^6-9x^5+2x^4+x^3-13x^2+x+9
y' = 

Задание 850. Производная функции

y=x^{-3}
y' = 

y=x^{-4}
y' = 

y=x^{-5}
y' = 

Задание 851. Производная функции

y=\frac{2x-1}{x-2}
y' = 

y=\frac{5x-2}{x}
y' = 

y=\frac{x^2}{x+7}
y' = 

y=\left(x+5\right)\left(x-3\right)
y' = 

y=x^4\left(x^2-x^{-3}\right)
y' = 

y=x^{0,3}\cdot x^{1,7}
y' = 

y=\frac{x^5+1}{x-x^4}
y' = 

y=\frac{x^3}{x^2+2x}
y' = 

y=\frac{x^3-8}{x^2+2x+4}
y' = 

Задание 852. Значения производной

f '(x) = 

f '(–2) = 

f '(0) = 

f '(1) = 

f '(5) = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 853. Производная функции

y=x^{\frac{2}{7}}
y' = 

y=x^{\frac{5}{2}}
y' = 

y=x^{\frac{9}{10}}
y' = 

y=x^{4,5}
y' = 

y=x^{23,8}
y' = 

y=x^{-17,5}
y' = 

y=\sqrt[4]{x}
y' = 

y=\sqrt[6]{x^5}
y' = 

y=\sqrt[13]{x^8}
y' = 

Задание 854. Производная функции

y=x\sqrt{x}
y' = 

y=x^2\sqrt[3]{x}
y' = 

y=x^{-3}\sqrt[5]{x^2}
y' = 

y=\frac{\sqrt{x}}{x}
y' = 

y=\frac{x}{\sqrt[3]{x}}
y' = 

y=\frac{\sqrt[5]{x}}{x^3}
y' = 

Задание 855. Производная функции

y=2\sqrt{x}+3\sqrt[3]{x}+4\sqrt[4]{x}
y' = 

y=\left(\sqrt{x}-x\right)\left(\sqrt{x}+x\right)
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+2x\right)^2
y' = 

y=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+5\right)
y' = 

Задание 856. Значения производной

y=2\sqrt{x}-3\sqrt[6]{x^5}+4x^{-2}.

y' = 

f '(–2) = 

f '(0) = 

f '(1) = 

f '(5) = 

Задание 857. Угловой коэффициент и угол наклона касательной

Начертите эскиз графика функции y=\sqrt{x}. Найдите угловой коэффициент и угол наклона касательной в точках:

  1. x = 0,000001.

    Ответ: k = , α = 
  2. x = 1.

    Ответ: k = , α = 
  3. x = 205.

    Ответ: k = , α = 

Представьте себе, как расположены эти касательные.

Seotud sisu
Muud tegevused