Производная сложной функции

Вспомним, что такое сложная функция.

Пример 1.

Если дана функция y=\sqrt{u}, причем переменная u в свою очередь является функцией от переменной x, например, u = sin x, то говорят, что переменная y есть сложная функция переменной x. Заданную двумя формулами сложную функцию можно представить одной формулой: y=\sqrt{\sin x}.

В общем случае: если даны функции y = f(u) и u = g(x), причем все значения функции u = g(x) принадлежат области определения функции y = f(u), то образуется сложная функция y = f [g(x)]. Переменную u называют в этом случае промежуточной переменной, а функции y = f (u) и u = g(x) соответственно внешней и внутренней функциями. В предыдущем примере внешней функцией является y=\sqrt{u}, а внутренней – u = sin x. Как мы увидим в примере 2, всякую функцию вида y = f [g(x)], можно выразить через промежуточную переменную.

Пример 2.

Представим функции как сложные функции с помощью промежуточной переменной:

1) y=\left(3x^2-4\right)^2,

1) y=u^2, u=3x^2-4;

2) y=\sin5x,

2) y=\sin v, v=5x;

3) y=2^{\tan x},

3) y=2^t, t=\tan x.

Найдем теперь правило дифференцирования сложной функции y = f [g(x)]. Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы, причем вторая – в точке х, а первая – в соответствующей точке u = g(x). Это значит, что существуют производные

limΔu→0ΔyΔu=f'u и limΔx→0ΔuΔx=g'x.

Из этих равенств следует, что разности \frac{\Delta y}{\Delta u}-f′\left(u\right) и \frac{\Delta u}{\Delta x}-g′\left(x\right) являются бесконечно малыми соответственно при Δu → 0 и Δх → 0. Обозначим эти бесконечно малые соответственно через α и β: \frac{\Delta y}{\Delta u}-f′\left(u\right)=\mathrm{\alpha} и \frac{\Delta u}{\Delta x}-g′\left(x\right)=\mathrm{\beta}. Из этих равенств следует, что Δy = f '(u)Δu + αΔu и Δu = g '(x)Δx + βΔx. Подставив выражение величины Δu в выражение Δy, получим:

Δy = f '(u)g '(x)Δx + f '(u)βΔx + αΔu.

Разделим обе части полученного равенства на Δх:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'\left(u\right)g'\left(x\right)+f'\left(u\right)\mathrm{\beta}+\mathrm{\alpha}\frac{\Delta u}{\Delta x}.

Так как при Δx → 0 также и Δu → 0, а величины α и β являются бесконечно малыми соответственно при Δu → 0 и Δх → 0, то limΔx→0α=limΔu→0α=0 и limΔx→0β=0. Учитывая еще и то, что limΔx→0ΔuΔx=g'x, получим, что производная сложной функции y = f [g(x)] есть

y'x = limΔx→0ΔyΔx = limΔx→0f'ug'x+f'uβ+αΔuΔx = f'\left(u\right)g'\left(x\right), где u=g\left(x\right).

Таким образом, мы получили, что

производная сложной функции[понятие: Производная сложной функции (liitfunktsiooni tuletis) – находится как произведение производной внешней функции в точке, равной значению внутренней функции в точке 𝑥, на производную внутренней функции в точке 𝑥.] y = f [g (x)], образованной из функций y = f (u) и u = g (x), находится по формуле y'(x) = f ′(u) · g′(x), т. е. по формуле y' = f '[g(x)] · g'(x).

Пример 3.

Найдем производные функций: 1) y=\sqrt{u}, u=x^2+1; 2) y=\left(3x^2-4\right)^2.

Применим формулу дифференцирования сложной функции:

  1. y'\left(x\right) = \left(\sqrt{u}\right)^'\cdot\left(x^2+1\right)^' = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(2x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}};
  2. если y=u^2 и u=3x^2-4, то y'\left(x\right) = \left(u^2\right)^'\cdot\left(3x^2-4\right)^' = 2u\cdot6x = 12x\left(3x^2-4\right) = 36x^3-48x.

В последнем случае можно было бы сначала раскрыть скобки и затем продифференцировать полученное выражение.

Сложная функция может быть образована и с помощью нескольких промежуточных переменных.

Пример 4.

Представим функцию y=\frac{1}{\sqrt{5x^4-4x^2}} с помощью двух промежуточных переменных:

y=\frac{1}{u}, u=\sqrt{v}, v=5x^4-4x^2.

Пример 5.

Найдем производную функции, рассмотренной в предыдущем примере.

Поскольку у нас нет формулы для дифференцирования сложной функции в случае двух промежуточных переменных, то поступим следующим образом.

Представим функцию y=\frac{1}{\sqrt{5x^4-4x^2}} в виде y=\frac{1}{u}, u=\sqrt{5x^4-4x^2}.

Тогда

y'\left(x\right) = \left(\frac{1}{u}\right)^'\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = -\frac{1}{u^2}\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = -\frac{1}{5x^4-4x^2}\cdot\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^'.

Теперь нужно найти производную новой сложной функции y=\sqrt{5x^4-4x^2}, или y=\sqrt{v}, v=5x^4-4x^2. Получим:

\left(\sqrt{5x^4-4x^2}\right)^' = \left(\sqrt{v}\right)^'\cdot\left(5x^4-4x^2\right)^' = \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot\left(20x^3-8x\right) = \frac{10x^3-4x}{\sqrt{5x^4-4x^2}},

и y'\left(x\right) = -\frac{10x^3-4x}{\left(5x^4-4x^2\right)\sqrt{5x^4-4x^2}} = \frac{4-10x^2}{\left(5x^3-4x\right)\sqrt{5x^4-4x^2}}.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 858. Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

Сложная функция

y=\sqrt{u}

u=\sin x

y=\sqrt{u}

u=5x+8

y=\ln v

v=x^2+1

Внешняя функция

Внутренняя функция

Сложная функция

y=e^v

v=-3x

y=\sin t

t=\sqrt{x}

y=10^t

t=\log x

Задание 859. Сложная функция

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

y=\sqrt{13x+1}

y=\left(2x^3-4\right)^5

y=10^{5x}

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

y=\sqrt{\tan x}

y=\cos^7x

y=e^{\sqrt{x}}

Сложная функция

Внешняя функция

Внутренняя функция

y=\sin2x

y=\ln\frac{x+1}{3x}

y=\sqrt[5]{e^x}

Задание 860. Производная сложной функции

y=\sqrt{u}, u=5x+8
y' = 

y=\sqrt{t}, t=2x^3-4
y' = 

y=\sqrt{v}, v=\frac{x+1}{x-1}
y' = 

y=\sqrt[8]{w}, w=\frac{3}{x}
y' = 

y=t^4, t=0,5x^6-x^3
y' = 

y=8u^3, u=6-2x^2
y' = 

Задание 861. Производная сложной функции

y=\sqrt{13x+1}
y' = 

y=\left(6x^3-x^2-2\right)^5
y' = 

y=\left(x-1\right)^9
y' = 

y=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}
y' = 

y=\sqrt{x^2-5}
y' = 

y=\left(\sqrt{x}+x\right)^7
y' = 

Задание 862. Сложная функция

y=\sqrt{u}, u=\sin v, v=5x
y = 

y=u^3, u=\ln t, t=8x
y = 

y=\cos t, t=e^u, u=\ln x
y = 

y=v^4, v=\mathrm{\tan}\ u, u=x^4
y = 

Seotud sisu
Muud tegevused