Производные тригонометрических функций

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ y = sin x.

Чтобы найти производную функции y = sin x, нам потребуется сначала вывести формулу преобразования выражения sin α – sin β. Как мы знаем,

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.

Вычтя соответственные части этих равенств, получим:

sin (x + y) – sin (x – y) = 2 cos x sin y.

Теперь подберем такие величины х и у, что x + y = α и x – y = β. Решив соответствующую систему уравнений, получим, что x=\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}, y=\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}. Тогдаsin α – sin β = 2\cos\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}.Приступим к выводу формулы производной функции синус. Приращение функции выразим с помощью полученной выше формулы:\Delta y = \sin\left(x+\Delta x\right)-\sin x = 2\cos\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = 2\cos\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x.Так как $\lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , то получим

$(\sin x)'$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \frac{2 \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \sin 0,5 Δ x}{Δ x}$ = $\lim_{Δ x \to 0} \cos (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}$ = $\cos x \cdot 1$ = $\cos x$ .

Итак,

(sin x)' = cos x.

Пример 1.

Найдем производные функций: 1) y=\frac{1-\sin x}{\sin x}; 2) y = sin(4x³ – x).

Воспользуемся формулой производной частного:

y' = \frac{\left(1-\sin x\right)^'\sin x-\left(1-\sin x\right)\left(\sin x\right)^'}{\sin^2x} = \frac{-\cos x\sin x-\left(1-\sin x\right)\cos x}{\sin^2x} = -\frac{\cos x}{\sin^2x}.

Пусть y = sin t и t = 4x³ – x. Тогда получим

y' = \left(\sin t\right)^'\cdot\left(4x^3-x\right)^' = \cos t\cdot\left(12x^2-1\right) = \left(12x^2-1\right)\cos\left(4x^3-x\right).

2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ у = cos x.Найдем производную функции косинус аналогично тому, как это было сделано для функции синус. Для этого воспользуемся формулой \cos\mathrm{\alpha}-\cos\mathrm{\beta}=-2\sin\frac{\mathrm{\alpha}+\mathrm{\beta}}{2}\sin\frac{\mathrm{\alpha}-\mathrm{\beta}}{2}. Получим:\Delta y = \cos\left(x+\Delta x\right)-\cos x = -2\sin\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{x+\Delta x-x}{2} = -2\sin\left(x+0,5\Delta x\right)\sin0,5\Delta x;

(\cos x)'

\lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x}

\lim_{Δ x \to 0} \frac{- 2 \sin (x + 0,5 Δ x) \sin 0,5 Δ x}{Δ x}

- \lim_{Δ x \to 0} \sin (x + 0,5 Δ x) \cdot \lim_{Δ x \to 0} \frac{\sin 0,5 Δ x}{0,5 Δ x}

- \sin x \cdot 1

- \sin x

Итак,

(cos x)' = –sin x.

Пример 2.

Найдем производную функции y = sin x ⋅ cos x.

По правилу дифференцирования произведения получим:

(\sin x\cdot\cos x)^' = (\sin x)^'\cdot\cos x+\left(\sin x\right)\cdot\left(\cos x\right)^' = \cos^2x-\sin^2x = \cos2x.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ у = tan x.Так как \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, то найдем производную как производную частного и в результате получим:

$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^{2} x}$ .

Пример 3.

Найдем производную функции y = x – tan x.

\left(x-\tan x\right)^' = 1-\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\cos^2x-1}{\cos^2x} = -\frac{\sin^2x}{\cos^2x} = -\tan^2x.

Пример 4.

Найдем производную функции y = cos^–1 x – tan² x.

Продифференцируем отдельно каждое слагаемое, рассматривая их как сложные функции. Первое слагаемое представим в виде y = u^–1, u = cos x, а второе слагаемое – в виде y = t², t = tan x.

Получим:

\left(\cos^{-1}x-\tan^2x\right)^' = \left(u^{-1}\right)^'\cdot\left(\cos x\right)^'-\left(t^2\right)^'\cdot\left(\tan x\right)^' = -1\cdot u^{-2}\left(-\sin x\right)-2t\cdot\frac{1}{\cos^2x} = \frac{\sin x}{\cos^2x}-\frac{2\tan x}{\cos^2x} = \frac{\sin x-2\tan x}{\cos^2x}.

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 863. Производная функции

y=6\sin x
y' =

y=-5\sin x
y' =

y=4,3\sin x
y' =

y=\frac{1}{\sin x}
y' =

y=\frac{\sin x}{1+\sin x}
y' =

y=x^3\sin x
y' =

y=\frac{\sin2x}{\cos x}
y' =

y=\sin^2x
y' =

y=6x^4+\sin x
y' =

y=0,4\cos x
y' =

y=-3\cos x
y' =

y=x\cos x
y' =

y=\frac{1}{\cos x}
y' =

y=\cos^2x
y' =

y=\sqrt{\cos x}
y' =

y=\cos\left(-x\right)
y' =

y=\cos4x
y' =

y=\cos\sqrt{x}
y' =

Задание 864. Производная функции

y=\frac{\cos x}{\sin x}
y' =

y=\cos2x
y' =

y=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x}
y' =

y=\left(2+\cos x\right)^2
y' =

y=\left(\sin x+\cos x\right)^2
y' =

y=5\sin x+3\cos x
y' =

Задание 865. Производная функции

y=5\tan x
y' =

y=-9\tan x
y' =

y=x\tan x
y' =

y=\frac{\tan x}{1+\tan x}
y' =

y=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}
y' =

y=\frac{1}{\tan x}
y' =

y=\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)
y' =

y=\tan\frac{x}{2}
y' =

y=\tan8x
y' =

Задание 866. Производная функции

y=\sin x\tan x
y' =

y=\sin x\left(\cos x-1\right)
y' =

y=\tan2x
y' =

y=\cos x\left(\sin x+\tan x\right)
y' =

Задание 867. Значения производной

f'\left(\frac{\pi}{4}\right), еслиy=5\sin x
f'\left(x\right) =
f'\left(\frac{\pi}{4}\right) =

f'\left(0\right), еслиy=\frac{1}{\cos x}
f'\left(x\right) =
f'\left(0\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{6}\right), еслиy=\sin2x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{6}\right) =

f'\left(-\frac{\pi}{3}\right), еслиy=\tan x
f'\left(x\right) =
f'\left(-\frac{\pi}{3}\right) =

Задание 868. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Ответ: k = , α = , y = .

Задание 869. Производная функции

Ответ: (cot x)' =

Seotud sisu

Opiqus edenemine

	Tööd
	Peatükk on läbi töötatud

Производные тригонометрических функций

Seotud sisu

Упражнения Б

Задание 863. Производная функции

Задание 864. Производная функции

Задание 865. Производная функции

Задание 866. Производная функции

Задание 867. Значения производной

Задание 868. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Задание 869. Производная функции

Seotud sisu

Lisa materjali

Lisatavad failid

Teata veast

Teata siia ainult Opiqu veast. Palun kirjelda viga nii täpselt kui võimalik.

Kui ootad Opiqu meeskonnalt vastust, lisa oma kontaktandmed (e-post, telefon).

Tee linnuke, et aidata meil spämmiga võidelda

Opiq kasutab küpsiseid