Производная логарифмической функции

Найдем производную логарифмической функции y = ln x по определению производной. Сначала найдем приращение функции

\Delta y = \ln\left(x+\Delta x\right)-\ln x = \ln\frac{x+\Delta x}{x} = \ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).

Теперь выразим отношение \frac{\Delta y}{\Delta x}:

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right).

Обозначим отношение \frac{x}{\Delta x} новой переменной u. Тогда из равенства u=\frac{x}{\Delta x} получим, что \Delta x=\frac{x}{u}, откуда

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{u}{x}\ln\left(1+\frac{1}{u}\right) = \frac{1}{x}\ln\left(1+\frac{1}{u}\right)^u.

Выясним теперь, чему равен предел отношения \frac{\Delta y}{\Delta x} при Δx → 0. Как видно из последнего равенства, отношение \frac{\Delta y}{\Delta x} не содержит величины Δx в явном виде, а содержит переменную u. Так как u=\frac{x}{\Delta x}и Δх → 0, то u → ∞. Поэтому при |u| → ∞ мы получим, что в выражении \frac{\Delta y}{\Delta x} величина \left(1+\frac{1}{u}\right)^u\to e и \ln\left(1+\frac{1}{u}\right)^u\to\ln e=1. Следовательно, \frac{\Delta y}{\Delta x}\to\frac{1}{x} при Δх → 0. Таким образом,

(ln x)'=1x.

Пример 1.

Найдем производную функции y = x ⋅ ln x. Получим:

\left(x\cdot\ln x\right)^' = x'\ln x+x\left(\ln x\right)^' = 1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x} = \ln x+1.

Найдем теперь производную функции y = loga x, где a > 0, a ≠ 1. Перейдем от основания логарифма а к основанию е:

\log_ax = \frac{\log_ex}{\log_ea} = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{1}{\ln a}\cdot\ln x, где \frac{1}{\ln a} есть некоторое число (постоянная).

Теперь получим: \left(\log_ax\right)^' = \left(\frac{1}{\ln a}\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{\ln a}\cdot\left(\ln x\right)^' = \frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln a}. 

Представим результат двумя способами (учитывая, что \frac{1}{\ln a}=\log_ae):

(logax)'=1xlogae=1xlna.

Пример 2.

\left(\log_7x\right)^' = \frac{1}{x}\log_7e = \frac{1}{x\ln7}.

Пример 3.

Найдем производные функций: 1) y=\ln^2x; 2) y=\log\frac{4}{x}.

  1. \left(\ln^2x\right)^' = \left(\ln x\cdot\ln x\right)^' = \frac{1}{x}\cdot\ln x+\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
    Производную \left(\ln^2x\right)^' можно найти и по формуле производной сложной функции.
    ​Если y = t2 и t = ln x, то y' = \left(t^2\right)^'\cdot\left(\ln x\right)^' = 2t\cdot\frac{1}{x} = \frac{2}{x}\ln x.
  2. Представим функцию как сложную: y=\log u, u=\frac{4}{x}.
    Тогда
    \left(\log\frac{4}{x}\right)^' = \left(\log u\right)^'\cdot\left(\frac{4}{x}\right)^' = \frac{1}{u}\log e\cdot\left(-\frac{4}{x^2}\right) = -\frac{x}{4}\cdot\frac{4}{x^2}\cdot\log e = -\frac{1}{x}\log e = -\frac{1}{x\ln10}.
    ​Если же представить данную функцию в виде y = log 4 – log x, то она уже не будет сложной функцией и получим сразу, что y'=-\frac{1}{x\ln10}.

Пример 4.

Как мы знаем, функция y = ln x является возрастающей на всей области определения (x > 0), причем если x → ∞, то ln x → ∞. Исследуем подробнее характер возрастания функции с помощью ее производной \left(\ln x\right)^'=\frac{1}{x}. Производная функции является, в свою очередь, функцией, равной скорости (vy) изменения исходной функции (см. § 4.6). Итак, v_y=\frac{1}{x}, откуда следует, что при возрастании аргумента скорость возрастания функции y = ln x непрерывно уменьшается (если x → ∞, то \frac{1}{x}\to0). Это видно и на графике функции y = ln x (рис. 4.15), который имеет крутой подъем на промежутке [0; 1], а затем этот подъем становится все более пологим. На графике функции v_y=\frac{1}{x} мы также наблюдаем сначала очень крутой спуск, а затем все более медленное приближение к оси абсцисс.

Рис. 4.15
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 870. Производная функции

y=-3\ln x
y' = 

y=5\ln x
y' = 

y=\ln x^8
y' = 

y=\ln e^3x^2
y' = 

y=\ln8x
y' = 

y=\ln\sqrt{x}
y' = 

y=\ln\frac{1}{x}
y' = 

y=\ln x^{-5}
y' = 

Задание 871. Производная функции

y=\frac{\ln x-1}{\ln x}
y' = 

y=\frac{\ln x}{x}
y' = 

y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}
y' = 

y=x\ln x
y' = 

y=x^2-2\ln x
y' = 

y=x^{-1}+2\ln x
y' = 

Задание 872. Значение производной в данной точке

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), если y=\frac{1}{\ln x}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) = 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), если y=\frac{\ln x}{x^2}.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) = 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right), если y=x^2-2\ln x.

y' = 

f '(1) = 

f '(2) = 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f '(e) ≈ 

Задание 873. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Ответ: k = , α = , y = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 874. Производная функции

y=\log_2x
y' = 

y=\log_{0,208}x
y' = 

y=3\log x
y' = 

y=\log_{10}x
y' = 

y=\log_525\cdot\ln x
y' = 

y=\log_4x^{-5}
y' = 

Задание 875. Производная функции

y=\frac{\log x}{\ln x}
y' = 

y=\frac{5}{x}+\log_5\frac{5}{x}
y' = 

y=\log\left(2x-3\right)
y' = 

y=\ln\cos x
y' = 

y=\ln\tan x
y' = 

y=\log\left(4x^2-2x\right)
y' = 

Задание 876. Значение производной в данной точке

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) если y=\ln\cos x.

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = 

f ′(e) ≈ 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) если y=\ln\tan x.

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f ′(e) ≈ 

Вычислите f'\left(1\right), f'\left(2\right), f'\left(\frac{\pi}{3}\right), f'\left(e\right) если y=\log\left(4x^2-2x\right).

y' = 

f ′(1) ≈ 

f ′(2) ≈ 

f'\left(\frac{\pi}{3}\right) ≈ 

f ′(e) ≈ 

Задание 877. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Ответ: k = , α = , y = .

Seotud sisu
Muud tegevused