Производная обратной функции

Напомним, что для нахождения функции, обратной данной, нужно выразить переменную х через переменную у и затем поменять ролями х и у, т. е. обозначить аргумент через х, а значение функции – через у (см. § 2.16).

Например для функции y=\frac{2}{x+1} получим:

y=\frac{2}{x+1} ⇒ x+1=\frac{2}{y} ⇒ x=\frac{2}{y}-1 или y=\frac{2}{x}-1.

Функция x=\frac{2}{y}-1, или, в других обозначениях, y=\frac{2}{x}-1 , будет обратной для функции y=\frac{2}{x+1}.

Пусть функция y=f\left(x\right) имеет обратную к ней функцию x=f^{-1}\left(y\right) (оставим эти обозначения, т. е. не будем менять ролями x и у). Предположим, что функция y=f\left(x\right) дифференцируема, а значит и непрерывна. Тогда непрерывна и обратная функция x=f^{-1}\left(y\right) (ее графиком является непрерывная линия), т. е. если то Δy → 0 и Δx → 0.

Воспользовавшись определением производной и свойствами предела, мы получаем, что обратная функция также имеет производную. В самом деле,

\left[f^{-1}\left(y\right)\right]^' = $$ \underset{\text{Δ}y\to 0}{\lim }\frac{\text{Δ}x}{\text{Δ}y}$$ = $$ \underset{\text{Δ}y\to 0}{\lim }\frac{1}{{\displaystyle \frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}}}$$ = $$ \frac{1}{\underset{\text{Δ}x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\text{Δ}y}{\text{Δ}x}}}$$ = \frac{1}{f'\left(x\right)}.

Таким образом,