Производная показательной функции

Логарифмическую функцию мы определили как обратную к показательной функции y = ax (см. § 3.9). Следовательно, обратной функцией для y = ax является логарифмическая функция x = loga y, откуда, согласно результату предыдущего параграфа,

\left(a^x\right)^' = \frac{1}{\left(\log_ay\right)'} = \frac{1}{\frac{1}{y}\log_ae} = \frac{y}{\log_ae} = \frac{a^x}{\log_ae} = a^x\ln a.

В краткой записи:

(ax)' = ax ln a.

Пример 1.

Найдем производные функций: 1) y=2^x; 2) y=8^{2-3x+3x^2}.

  1. (2x)' = 2x ln 2.
  2. Пусть y=8^u и u=2-3x+3x^2. Тогда по правилу дифференцировния сложной функции:
    ​\left(8^{2-3x+3x^2}\right)^' = \left(8^u\right)^'\cdot\left(2-3x+3x^2\right)^' = 8^u\ln8\cdot\left(-3+6x\right) = 3\left(2x-1\right)8^{2-3x+3x^2}\cdot\ln8.

Приняв к сведению, что производной функции y=a^x является a^x\cdot\ln a, получим, что производная функции y=e^x равна e^x\cdot\ln e=e^x. В краткой записи:

(ex)' = ex.

Пример 2.

Найдем производные функций: 1) y=e^{-x}; 2) y=e^{2x}.

Получим:

  1. \left(e^{-x}\right)^' = \left(\frac{1}{e^x}\right)^' = \frac{1^'\cdot e^x-1\cdot\left(e^x\right)^'}{\left(e^x\right)^2} = -\frac{1}{e^x} = -e^{-x}.
  2. \left(e^{2x}\right)^' = \left(e^{x+x}\right)^' = \left(e^x\cdot e^x\right)^' = \left(e^x\right)^'\cdot e^x+e^x\cdot\left(e^x\right)^' = e^x\cdot e^x+e^x\cdot e^x = 2e^{2x}.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 881. Производная функции

y=16e^x
y' = 

y=-3e^x
y' = 

y=xe^x
y' = 

y=1,07e^x
y' = 

y=-e^x
y' = 

y=e^{3+x}
y' = 

y=e^{-x}
y' = 

y=e^{x-3}
y' = 

y=e^{-x}\ln x
y' = 

Задание 882. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Ответ: k = , α = , y = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 883. Производная функции

y=3^x
y' = 

y=10^x
y' = 

y=0,88^x
y' = 

y=100^x
y' = 

y=12^{1-x}
y' = 

y=-4\cdot5^x
y' = 

y=4^{8x}
y' = 

y=5^{0,2x}
y' = 

y=6^{-3x}
y' = 

Задание 884. Производная функции

y=3^{2+x}
y' = 

y=10^{x-2}
y' = 

y=2^{4+x}
y' = 

y=2^{-5x}
y' = 

y=2^x\cdot8^x
y' = 

y=3^x\cdot2^x
y' = 

Задание 885. Производная функции

y=e^{7x^3-3x}
y' = 

y=4^{\sqrt{x}}
y' = 

y=e^{3\ln x}
y' = 

y=\sqrt{10^x}
y' = 

y=x^4\cdot4^x
y' = 

y=8^{x^3-x^2}
y' = 

Задание 886. Производная функции

y=\sqrt{\sin5x}
y' = 

y=\ln^38x
y' = 

y=\cos e^{\ln x}
y' = 

y=\tan^4x^4
y' = 

Задание 887. Угловой коэффициент, угол наклона и уравнение касательной

Ответ: k = , α = , y = 

Ответ: k = , α = , y = 

Seotud sisu
Muud tegevused