Мгновенная скорость

Пример 1.

Тело движется прямолинейно, и закон его движения задается формулой[cноска: Единицей измерения в задачах на движение являются метр и секунда, если не оговорено противное.] s(t) = –0,25t² + 4t, причем s(t₀) есть координата тела на числовой прямой в момент времени[cноска: Kasutatavad mõõt­ühikud, kui neid pole eraldi lisatud, on analoogsetes ülesannetes siin ja edas­pidi meeter ning sekund. Samuti säilivad edasises suuruste s (t) ja t tähendused.] t₀.

Найдем:

1. формулы, позволяющие вычислить скорость и ускорение в произвольный момент времени;
2. скорость и ускорение тела в момент t₀ = 2;
3. через сколько секунд тело остановится.

Сначала найдем формулы для скорости и ускорения:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-0,5t+4,

a\left(t\right)=v'\left(t\right)=-0,5.

Вычислим теперь скорость в момент времени t_0=2.

v\left(2\right)=-0,5\cdot2+4=3\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).

Ускорение тела постоянно, а потому и при t₀ = 2 ускорение равно -0,5\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с^2}}.

В момент, когда тело остановится, его скорость должна стать равной нулю. Поэтому решим уравнение

-0,5t+4=0,

чтобы получить ответ на последний вопрос: тело остановится через 8 секунд.

Построим теперь на компьютере (например, с помощью программы GeoGebra) графики обеих полученных функций в одной системе координат. На оси абсцисс будем отмечать время, а на оси ординат – расстояние от тела до начала отсчета или же скорость (рис. 5.1). 

Рис. 5.1

Графики показывают нам, что:

• в течение первых 8 секунд тело удаляется от начала отсчета (расстояние увеличивается);
• на 8-й секунде тело наиболее удалено от начала движения (16 м) и на мгновение останавливается;
• после этого тело начинает приближаться к точке отправления, достигнув ее на 16-й секунде:
• в начальный момент скорость тела составляет 4\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.

Далее скорость начинает уменьшаться вплоть до остановки на 8-й секунде. После этого скорость становится отрицательной. Это значит, что тело начинает двигаться в направлении, противоположном направлению оси, на которой отмечается расстояние.

Пример 2.

Тело движется прямолинейно по закону

s\left(t\right)=-\frac{t^3}{3}+2t^2-4

Найдем скорость движения тела в тот момент, когда ускорение равно нулю.

Сначала выразим скорость и ускорение:

v\left(t\right)=s'\left(t\right)=-t^2+4t и a\left(t\right)=v'\left(t\right)=\left(-t^2+4t\right)^'=-2t+4.​

Из уравнения -2t+4=0 получим, что скорость нужно найти в момент времени t_0=2:

v\left(t_0\right)=v(2)=-2^2+4\cdot2=4\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).

Ответ: в момент, когда ускорение тела станет равным нулю, его скорость равна 4\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}.

Пример 3.

Масло, вытекающее из дырявого резервуара, расплывается на земле в виде круглой лужи, радиус которой увеличивается с постоянной скоростью 0,5\ \frac{\mathrm{см}}{\mathrm{с}}. Вычислим скорость изменения (увеличения) площади этой лужи в тот момент, когда ее радиус равен 18 см.

Пусть t – продолжительность утечки масла в секундах, а r и S соответственно радиус и площадь масляной лужи, образовавшейся за это время. Тогда скорость v изменения площади выражается формулой

v=S'\left(t\right), где S=\pi r^2.

Так как радиус r является функцией от времени, т. е. r = r(t), то мы имеем дело со сложной функцией. По правилу дифференцирования сложной функции получим:

S'\left(t\right) = S'\left(r\right)\cdot r'\left(t\right) = 2\pi r\cdot r'\left(t\right).

По условию задачи скорость увеличения радиуса лужи постоянна: r'\left(t\right)= 0,5\ \frac{\mathrm{см}}{с} при любом t. Поэтому

S'\left(t\right)=2\pi r\cdot0,5=\pi r.

Чтобы найти скорость увеличения площади лужи в тот момент, когда ее радиус равен 18 см, вычислим значение полученной производной при r = 18:

v = S'\left(t\right)_{r=18} = 18\pi ≈ 56,5\ \left(\frac{\mathrm{см^2}}{\mathrm{с}}\right).

Ответ: в тот момент, когда радиус лужи равен 18 см, ее площадь увеличивается со скоростью 56,5\ \frac{\mathrm{см^2}}{\mathrm{с}}.

Пример 4.

Лестница длиной 5 м скользит по стене (рис. 5.2), причем ее нижний конец удаляется от стены со скоростью 0,3\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}. Найдем, с какой скоростью скользит по стене вниз верхний конец лестницы в тот момент, когда нижний конец находится на расстоянии 3 м от стены.

Рис. 5.2

Пусть t – время в секундах, прошедшее от начала скольжения, х и у – соответственно расстояние от стены до нижнего конца лестницы и расстояние от поверхности земли до верхнего конца лестницы. По теореме Пифагора можно выразить у как функцию от х:

y=\sqrt{25-x^2}.   (1)

Найдем формулу v=y'\left(t\right) для вычисления скорости изменения у. Так как х есть функция от t, то нам снова придется применить правило дифференцирования сложной функции:

v = y'\left(t\right) = y'\left(x\right)\cdot x'\left(t\right) = \frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}\cdot x'\left(t\right).

Учитывая соотношение (1), получим отсюда, что y'\left(t\right)=-\frac{x}{y}\cdot x'\left(t\right).

Если x = 3, то y = 4. В этот момент, по условию, x'\left(t\right)=0,3\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right) и потому

v = y'\left(t\right)_{x=3} = -\frac{3}{4}\cdot0,3 = -0,225\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).

Полученный в результате знак минус показывает, что при увеличении значений переменной x значения переменной y уменьшаются.

Ответ: скорость скольжения вниз верхнего конца лестницы в рассматриваемый момент равна 0,225\ \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right).