Угловой коэффициент касательной

Задание 922. Американские горки

Соответствующая кривая является графиком функции y=-\frac{1}{6}x^3+x.

Рис. 5.4
  1. Какой наклон имеет кривая соответственно в точках A, B, C, D и E?
  1. На каком метре, начиная от точки А, горка достигает наибольшей высоты? Чему равен угловой коэффициент касательной в высшей точке?
  2. Как Вы думаете, при каких значениях х кривая имеет самый крутой подъем, и при каких – самый крутой спуск? Найдите угловые наклоны касательной в этих точках.

Чтобы ответить на поставленные в задании 922 вопросы, мы должны найти касательные к графику функции в точках А, В, С, D и Е и сравнить угловые коэффициенты этих касательных. Проще всего это сделать на компьютере, проведя касательную к графику в произвольной точке и затем проследив, как изменяется положение касательной при движении от точки А вдоль графика.

Задание 923. Касательная к графику функции
Рис. 5.5
  1. Опишите расположение касательной к графику, если эта касательная проведена в точке, абсцисса которой:
    1. принадлежит интервалу возрастания функции;
    2. принадлежит интервалу убывания функции;
    3. является точкой экстремума функции.
  2. В какой четверти расположен угол между касательной и положительным направлением оси Ох, если эта касательная проведена в точке, абсцисса которой:
    1. принадлежит интервалу возрастания функции;
    2. принадлежит интервалу убывания функции;
    3. является точкой экстремума функции?

Гораздо более точные ответы на поставленные в заданиях 922 и 923 вопросы дает алгебраическое решение этих заданий.

Как мы убедились, расположение касательной к графику функции тесно связано с поведением функции и позволяет найти интервалы возрастания или убывания функции и точки экстремума. Сама касательная, как и всякая невертикальная прямая, определяется своим угловым коэффициентом k и начальной ординатой b (рис. 5.6). Теперь приступим к исследованию взаимосвязи между угловым коэффициентом касательной[понятие: Угловой коэффициент касательной к графику функции (funktsiooni graafiku puutuja tõus) – yгловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной через точку с абсциссой  𝑥₀, равен значению производной данной функции в точке  𝑥₀.] и поведением функции. Напомним, что

Рис. 5.6
Рис. 5.7

если функция y = f(x) дифференцируема в точке x0, то угловой коэффициент (или наклон) k касательной, проведенной к графику функции в точке x0, выражается следующим образом:

k = tan α = limΔx→0tan β = limΔx→0ΔyΔx = f'(x0) (рис. 5.7).

Пример 1.

Найдем угловой коэффициент касательной к параболе y = 4x – x2 в точке x0 = 1.

Сначала найдем производную функции y = 4x – x2:

y'=4-2x.

Теперь вычислим значение производной в точке x0 = 1, которое и будет искомым угловым коэффициентом:

k=y'\left(1\right)=4-2\cdot1=2.

Ответ: угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке x0 = 1, равен 2.

Пример 2.

Найдем точки, в которых касательная, проведенная к графику функции y=\frac{1}{3}x^3, образует с положительным направлением оси абсцисс угол в 45°.

Так как tan 45° = 1, то нужно найти те значения х, при которых угловой коэффициент касательной равен 1, т. е. те точки, в которых y'=1. Имеем y'=x^2 и из уравнения x2 = 1 получим, что x = ±1.

Ответ: касательные, проведенные к графику y=\frac{1}{3}x^3 в точках х = –1 и х = 1, образуют с положительным направлением оси абсцисс угол в 45°.

Пример 3.

Найдем те значения переменной х, при которых касательная, проведенная к графику функции y=\frac{x}{1-x}, имеет положительный угловой коэффициент.

Чтобы найти требуемые значения х, нужно решить неравенство y' > 0. Имеем

y' = \frac{1\cdot\left(1-x\right)-x\cdot\left(-1\right)}{\left(1-x\right)^2} = \frac{1}{\left(1-x\right)^2}

и потому неравенство y' > 0 означает, что \frac{1}{\left(1-x\right)^2}>0.

Этому неравенству удовлетворяют все числа из области определения исходной функции.

Ответ: касательная, проведенная к графику функции y=\frac{x}{1-x}, имеет положительный угловой коэффициент в каждой точке области определения функции.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 924. Угловой коэффициент и угол наклона прямой
  1. отрицателен;
  2. равен нулю;
  3. положителен?

Каким является в каждом из этих случаев угол наклона прямой?

Задание 925. Угловой коэффициент касательной

y=x^2+2x+1, x_0=0,5

Ответ: k = 

y=2x^2-3x+1, x_0=2

Ответ: k = 

y=\sin x, x_0=0

Ответ: k = 

y=\cos x, x_0=\frac{\pi}{2}

Ответ: k = 

y=\frac{x}{2x+1}, x_0=-2

Ответ: k = 

y=\frac{x^2+1}{x}, x_0=-1

Ответ: k = 

Задание 926. Касательная к графику функции

y=e^x

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°, если x = .

y=\log x

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°, если x = .

y=-\frac{1}{x}

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°, если x =  или x = .

y=x-4

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует с положительным направлением оси Ох угол в 45°, если .

Задание 927. Касательная к графику функции

y=3x^3-16x

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если x =  или x = .

y=x^3-3x^2

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если x =  или x = .

y=2x^3-30x^2+126x

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если x =  или x = .

y=4x^3-21x^2+18x

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если x =  или x = .

y=x^3-2x^2+4x

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если .

y=\left(2x+1\right)\left(x^2+1\right)

Ответ: касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, если .

Задание 928. Абсцисса вершины параболы

y=x^2+x+1

Ответ: абсцисса вершины параболы равна .

y=3x^2-2x+4

Ответ: абсцисса вершины параболы равна .

y=-3x^2+6x-2

Ответ: абсцисса вершины параболы равна .

Задание 929. Касательная к графику функции

y=-x^3+15x^2-75x-3

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если  x ∈ .

y=x^3-6x^2+45x+3

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=x^3+6x^2-15x+6

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=x^3-9x^2+24x-3

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

Задание 930. Американские горки

Соответствующая кривая является графиком функции y=-\frac{1}{6}x^3+x. 

Рис. 5.4
  1. Какой наклон имеет кривая соответственно в точках А, В, С, D и Е?
    Ответ: в точке A наклон (угловой коэффициент) равен, в точке B – , в точке C – , в точке D – и в точке E –.
  1. На каком метре, начиная от точки А, горка достигает наибольшей высоты? Чему равен угловой коэффициент касательной в высшей точке?
    Ответ: в рассматриваемом отрезке горка достигает наибольшей высоты на расстоянии м от точки A. В этой точке угловой коэффициент касательной равен .
  2. Как Вы думаете, при каких значениях х кривая имеет самый крутой подъем, и при каких – самый крутой спуск? Найдите угловые наклоны касательной в этих точках.
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 931. Касательная к графику функции

y=\frac{x^2}{x+1}

Ответ: касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=\frac{x^2-1}{2x+1}

Ответ: касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=x\ln x

Ответ: касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=x\cdot2^x

Ответ: касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

Задание 932. Касательная к графику функции

y=\sqrt{1-x^2}

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=\ln\cos x

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=\sin x\cdot\cos x, где 0 ≤ x ≤ π

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

y=x\cdot e^{2x}

Ответ: касательная, проведенная к графику функции, образует тупой угол с положительным направлением оси Ох, если x ∈ .

Задание 933. Координаты вершины параболы

Ответ: вершина параболы имеет координаты (; ).

Задание 934. Касательная к графику функции

Ответ: все касательные, проведенные к графику этой функции, имеют положительный угловой коэффициент, если  .

Постройте на компьютере графики функций, соответствующие некоторым таким значениям а. Что наиболее существенное можно сказать относительно возрастания/убывания этих функций?

Задание 935. Касательная к параболе

Ответ: a = ; b = 

Задание 936. Касательная к графику функции

Ответ: a = ; b = 

Seotud sisu
Muud tegevused