Уравнение касательной

Задание 937. Крепление крыши ангара
Рис. 5.8

Чтобы решить эту задачу, достаточно найти точку, в которой касательная к линии y = –0,25(x2 – 25) пересекает ось абсцисс. Но для этого мы должны знать уравнение касательной к графику функции.

Касательная, проведенная к графику функции y = f (x) через точку (x0; y0) этого графика, является прямой, уравнение которой имеет вид y = kx + b. Для этого уравнения мы умеем находить угловой коэффициент (или наклон) k:

k = f ' (x0).

Чтобы найти начальную ординату, заметим, что точка (x0; y0) расположена на касательной, и потому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной y = kx + b. Тогда

y0 = f ' (x0) · x0 + b,

откуда b = y0 – x0 · f ' (x0).

Подставив найденные значения k и b в уравнение y = kx + b, мы получим уравнение касательной, проведенной к графику функции y = f (x) через точку (x0; y0) этого графика или короче – в точке х0:

y = f ' (x0) · (x – x0) + y0.

Поскольку y0 = f(x0), полученное уравнение можно записать и в виде

y = f ′(x0) · (x – x0) + f(x0).

Пример 1.

Найдем уравнение касательной, проведенной к параболе y=x^2+2x-1 в точке x_0=2.

Найдем сначала ординату у0 точки касания:

y_0 = f\left(x_0\right) = 2^2+2\cdot2-1 = 7.

Теперь найдем угловой коэффициент касательной, проведенной в точке х0 = 2. Так как y'=2x+2, то

k = f'\left(x_0\right) = y'\left(x_0\right) = 2\cdot2+2 = 6.

Подставим найденные значения в уравнение касательной и после упрощения получим:

y=6x-5.

Ответ: искомая касательная задана уравнением y=6x-5.

Пример 2.

К параболе y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 проведена касательная, параллельная прямой x-2y+2=0. Найдем уравнение этой касательной.

Так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны, то угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой. Приведем уравнение прямой к виду y = kx + b и получим:

y=\frac{1}{2}x+1.

Угловой коэффициент касательной k=\frac{1}{2}.

Теперь найдем точку, в которой угловой коэффициент касательной равен \frac{1}{2}. Для этого нужно решить уравнение f'\left(x\right)=\frac{1}{2}. Имеем y' = x + 3 и получим уравнение x+3=\frac{1}{2}, откуда x_0=-2\frac{1}{2}. Значение функции y=\frac{1}{2}x^2+3x-1 в этой точке есть y_0=-5\frac{3}{8}.

Подставим найденные числа в уравнение касательной и получим:

y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Ответ: искомая касательная задана уравнением y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8}.

Проверим полученный ответ, построив на компьютере графики функций y=x^2+2x-1, y=\frac{1}{2}x+1 и y=\frac{1}{2}x-4\frac{1}{8} (рис. 5.9).

Рис. 5.9
Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения A

Задание 938. Уравнение прямой, определенной с помощью точки и угла наклона

A\left(2;\ -3\right), \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

A\left(0;\ 2\right), \mathrm{\alpha}=120\degree

Ответ: y = 

A\left(0;\ 0\right), \mathrm{\alpha}=90\degree

Ответ: x = 

Задание 939. Уравнение прямой, определенной с помощью точки и угла наклона

A\left(-1;\ 3\right), k=\sqrt{3}

Ответ: y = , эта прямая .

A\left(0;\ -5\right), k=-1

Ответ: y = , эта прямая .

A\left(0;\ 0\right), k=0

Ответ: y = , эта прямая .

Задание 940. Уравнения касательных

y=x^2+1, если x_1=2 и x_2=-1

Ответ: если x_1=2, то y =  и если x_2=-1, то y = .

y=-3x^2+2x-1, если x_1=-2и x_2=3

Ответ: если x_1=-2, то y =  и если x_2=3, то y = .

y=\sin x, если x_1=0 и x_2=\frac{2\pi}{3}

Ответ: если x_1=0, то y =  и если x_2=\frac{2\pi}{3}, то y = .

y=\frac{x-1}{x+1}, если x_1=2 и x_2=-3

Ответ: если x_1=2, то y =  и если x_2=-3, то y = .

Задание 941. Уравнение касательной

y=-\frac{1}{2}x^2-\sqrt{3}\cdot x, если \mathrm{\alpha}=60\degree

Ответ: y = 

y=2\cos x, если \mathrm{\alpha}=120\degree

Ответ: y = 

y=\sin x+1, если \mathrm{\alpha}=0\degree

Ответ: y = 

y=\tan x, если \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

Задание 942. Уравнение касательной

y=-x^2+3x, если k=9

Ответ: y = 

y=\tan x, если x\in\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right] и k=1

Ответ: y = 

y=\log x, если k=\mathrm{\log\ }e

Ответ: y = 

y=\left(2x-1\right)^2+2, если k=0

Ответ: y = 

Задание 943. Крепление крыши ангара
Рис. 5.8

Ответ: второй конец троса нужно укрепить на расстоянии   м от основания крыши ангара.

Задание 944. Уравнение касательной

Ответ: y = 

Задание 945. Уравнение касательной

Найдите уравнение касательной к линии y=\frac{x-6}{x-2} в точке пересечения этой линии с осью ординат. Проверьте полученный результат с помощью графика, выполненного на компьютере.

Ответ: y = 

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения Б

Задание 946. Уравнения касательных

y=x\cdot2^x, если x_1=1 и x_2=0

Ответ: если x_1=1, то y =  и если x_2=0, то y = .

y=\frac{\ln x}{x}, если x_1=e и x_2=e^{-2}

Ответ: если x_1=e, то y =  и если x_2=e^{-2}, то y = .

y=\frac{\sqrt{x}}{2x-1}, если x_1=1 и x_2=-4

Ответ: если x_1=1, то y =  и если x_2=-4, то y = .

y=x\ln x, если x_1=1 и x_2=-1

Ответ: если x_1=1, то y =  и если x_2=-1, то y = .

Задание 947. Уравнение касательной

y=\sqrt{8-x^2}, если \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

y=\ln\left(2x+1\right), если \mathrm{\alpha}=60\degree

Ответ: y = 

y=\cos2x, если \mathrm{\alpha}=0\degree

Ответ: y =  или y = 

y=e^{2x-4}, если \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

y=xe^x, если \mathrm{\alpha}=0\degree

Ответ: y = 

y=x\ln x, если \mathrm{\alpha}=45\degree

Ответ: y = 

Задание 948. Уравнение касательной

Ответ: y = 

Задание 949. Уравнение касательной к графику функции

Ответ: y = 

Задание 950. Уравнение касательной к графику функции

Ответ: начальной ординатой этой касательной является .

Задание 951. Касательные к графику функции

Ответ: в точках  и .

Задание 952. Уравнение касательной

Ответ: y = 

Задание 953. Уравнение касательной

Найдите уравнение такой касательной к линии y=\frac{x-1}{x}, которая параллельна прямой 8x – 2y + 1 = 0.

Ответ: y =  и y = 

Задание 954. Уравнения касательных

Ответ: y =  и y = 

Задание 955. Уравнение касательной

Ответ: y = 

Задание 956. Уравнение касательной

Найдите касательную к линии y=\frac{1}{4}x^2-2, проведенную через точку (2; –2). Проверьте результат с помощью графика, выполненного на компьютере.

Ответ: y =  и y = 

Задание 957. Общая касательная к графикам функций

Ответ: точка пересечения графиков этих функций есть  , а уравнением общей касательной, проведенной через эту точку, является y = .

Есть ли у этих графиков другие общие касательные? Исследуйте этот вопрос с помощью компьютера.

Задание 958. Общая касательная к кривым

Докажите, что графики функций y=-x^2 и y=-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{1}{2} касаются друг друга. Найдите абсциссу точки касания и уравнение общей касательной. Проверьте на компьютере.

Ответ: абсцисса точки касания равна , а уравнением соответствубщей общей касательной является  y = .

Есть ли у этих графиков другие общие касательные?

Задание 959. Общие касательные к кривым
  1. Образуйте функцию g (x) = f (x + 1).
    Ответ: g (x) = 
  2. Найдите координаты точек пересечения графиков функций f (x) и g (x).
    Ответ: точки пересечения этих графиков имеют координаты  и .
  3. Найдите уравнения касательных, проведенных к графикам этих функций в точках их пересечения.
    Ответ: касательные, проведенные к графику функции f (x), есть y =  и y = , а касательные, проведенные к графику функции g (x) –  y =  и y = .
  4. Вычислите площадь четырехугольника, ограниченного полученными касательными.
    Ответ: S =  ед. площади.
Задание 960. Общие касательные к кривым

Указание
Обозначьте буквами а и b абсциссы точек, в которых общая касательная касается соответствующих графиков. Запишите уравнения касательных к данным графикам соответственно в точках а и b. Пользуясь тем фактом, что совпадающие прямые должны иметь одинаковые угловые коэффициенты и одинаковые начальные ординаты, найдите значения а и b.
Ответ к указанию
a1 = –2; b1 = 6
a2 = 8,(6); b2 = 0,(6)
Seotud sisu
Muud tegevused