Возрастание и убывание функции

Чтобы исследовать поведение функции (возрастание, убывание, экстремумы и т. д.) на некотором промежутке, не обязательно иметь перед глазами график функции. Такое исследование может быть успешно выполнено в том случае, когда функция определена формулой.

Пусть функция у = f (x) дифференцируема на некотором интервале (a; b). Тогда в каждой точке x ∈ (a; b) существует производная f '(x), а график функции имеет невертикальную касательную. Расположение этой касательной связано со знаком производной: 1) если f '(x) > 0, то касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол; 2) если f '(x) < 0, то тупой угол; 3) если f '(x) = 0, то касательная параллельна оси абсцисс.

Рис. 5.10

Очевидно, что если касательная в любой точке x ∈ (a; b) составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол, т. е. f '(x) > 0 то функция у = f(x) возрастает на интервале (a; b) (рис. 5.10, а). Если же касательная в любой точке x ∈ (a; b) составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол, т. е. то функция убывает на интервале (a; b) (рис. 5.10, б). Таким образом,

если f '(x) > 0 на интервале (a; b), то функция возрастает на этом интервале;

если f '(x) < 0 на интервале (a; b), то функция убывает на этом интервале.

Обратно, если дифференцируемая функция у = f(x) убывает на интервале (a; b), то касательная к графику функции в любой точке x ∈ (a; b) либо составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол (рис. 5.7, б), либо параллельна оси абсцисс (рис. 5.7, в). Значит, в этом случае f '(x) ≤ 0. Аналогично, если функция возрастает на интервале (a; b), то на этом интервале f '(x) ≥ 0. Сравнивая эти заключения с полученными в предыдущем рассуждении, мы видим, что строгое неравенство (f '(x) > 0 или f '(x) < 0) является достаточным для возрастания или убывания функции. Однако в случае возрастающей либо убывающей на интервале функции у = f(x) соответствующее неравенство f '(x) ≥ 0 или f '(x) ≤ 0 может обращаться в равенство f '(x) = 0 только в некоторых отдельных точках (рис. 5.10, в). При этом точки, в которых f '(x) = 0, не могут заполнять никакого промежутка (обычно их число конечно). Например, функция y = x³ возрастает на всей числовой прямой, а ее производная y' = 3x² всюду неотрицательна, но обращается в нуль только в одной точке х = 0.

Наконец, может случиться, что в некоторой точке с внутри интервала (a; b) функция непрерывна, но не имеет производной. В этом случае поведение функции зависит от ее поведения слева и справа от точки с. Например, если функция убывает на интервалах (а; с) и (с; b), то она убывает и на всем интервале (a; b) (рис. 5.10, г).

Теперь мы можем сформулировать правило для нахождения интервалов возрастания функции.

Решим неравенство f ′(x) > 0 (на области определения функции). Полученное множество решений составлено из некоторых интервалов (a; b), (c; d), …, среди которых могут быть и бесконечные (например, (–∞; 3)).
Если из полученных интервалов какие-нибудь два имеют общий конец (например, (а; с) и (с; b)) и в этой точке функция непрерывна, то объединим эти интервалы в один интервал (в нашем случае в интервал (а; b)).
Выполнив требуемое в пунктах 1 и 2, получим интервалы возрастания функции.

Правило нахождения интервалов убывания функции совершенно аналогично и основывается на решении неравенства f '(x) < 0.

Интервалы возрастания и интервалы убывания функции имеют и общее наименование – интервалы монотонности[понятие: Интервалы монотонности функции (funktsiooni monotoonsuse vahemikud) – общее наименование интервалов возрастания и интервалов убывания функции.] функции.

Пример 1.

Найдем интервалы возрастания и интервалы убывания функции y=2x^3+1. Для этого решим неравенства y' > 0 и y' < 0.Найдем производную: y'=6x^2.Из неравенства 6x^2>0 получим, что функция возрастает на интервалах (–∞; 0) и (0; ∞).Так как в точке х = 0 производная равна нулю, то проверим, сменяется ли в этой точке возрастание функции ее убыванием. Так как этого не происходит, то функция возрастает на интервале (–∞; ∞), т. е. на всей области определения.

Пример 2. Выясним, точка x₀ = 1 принадлежит интервалу возрастания или же интервалу убывания функции y=x^3-12x. Для этого определим знак производной в точке x₀ = 1. Поскольку y'=3x^2-12 и y'\left(1\right)=3\cdot1^2-12=-9<0, то значение аргумента x₀ = 1 принадлежит интервалу убывания данной функции.

Пример 3. Найдем интервалы монотонности функции y = 2x³ – 54x.

Данная функция определена на всей числовой прямой. Решим неравенства f '(x) > 0 и f '(x) < 0.Найдем производную: y'=6x^2-54.Решив неравенство 6x^2-54>0, получим, что функция возрастает на интервалах (–∞; –3) и (3; ∞) (рис. 5.11). Значит X₁ = (–∞; –3), X₂ = (3; ∞).

Рис. 5.11

Решив неравенство 6x^2-54<0, получим, что интервалом убывания функции является (–3; 3), т. е. X^– = (–3; 3).Ответ: функция возрастает на интервалах (–∞; –3) и (3; ∞) и убывает на интервале (–3; 3).

Пример 4. Найдем интервалы возрастания функции y=\left(2x-6\right)^3. Данная функция определена на всей числовой прямой. Так как y'=6\left(2x-6\right)^2 и производная также определена на всей прямой, то нужно решить неравенство 6\left(2x-6\right)^2>0. Множество решений этого неравенства состоит из двух интервалов: (–∞; 3) и (3; ∞). Так как функция непрерывна в точке х = 3 и возрастает как слева, так и справа от этой точки, то эти интервалы нужно объединить, т. е. заменить их одним интервалом (–∞; ∞), и функция оказывается возрастающей на всей числовой прямой.Ответ: y=\left(2x-6\right)^3 возрастает на всей области определения.

Seotud sisu