Konspekt funktsioonid (1)

  • Funktsiooni definitsioon
  • Tuletis
  • Funktsiooni uurimine
  • Joone puutuja
Seotud sisu
Muud tegevused

Funktsiooni definitsioon

Kui igale sõltumatu muutuja x väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f kohaselt vastavusse seatud üks kindel sõltuva y väärtus hulgast Y, siis f on muutuja x funktsioon ja kirjutatakse

y = f (x).

Hulkasid X ja Y nimetatakse vastavalt funktsiooni määramis- ja muutumis­piirkondadeks.

Funktsiooni teisendused

Funktsiooni teisendus

Teisenduse efekt

f (x ± a)

See teisendus nihutab funktsiooni f (x) graafikut vastavalt a ühikut paremale (lahutamise puhul) või vasakule (liitmise puhul).

f (x) ± a

See teisendus nihutab funktsiooni f (x) graafikut vastavalt a ühikut allapoole (lahutamise puhul) või ülespoole (liitmise puhul).

f (–x)

Funktsiooni f (–x) graafik on funktsiooni f (x) graafiku peegeldus y-telje suhtes.

–f (x)

Funktsiooni –f (x) graafik on funktsiooni f (x) graafiku peegeldus x-telje suhtes.

\left|f\left(x\right)\right|

Positiivsete funktsiooni väärtuste korral kattub \left|f\left(x\right)\right| graafik  ​f (x) graafikuga.
​Negatiivsete funktsiooni f (x) väärtuste korral on \left|f\left(x\right)\right| graafik f (x) graafiku peegeldus x-telje suhtes.

af (x) ja f (bx)

Need teisendused muudavad sõltuvalt a ja b väärtustest funktsiooni f (x) graafikut kas kitsamaks või laiemaks. Esimesel juhul jäävad samaks funktsiooni lõikepunktid x-teljega ning teisel juhul lõikepunktid y-teljega.

Paaris ja paaritu funktsioon

Funktsioon f (x) on paarisfunktsioon, kui mis tahes argumendi x väärtuse korral kehtib f (−x) = f (x).
​Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Funktsioon f (x) on paaritu funktsioon, kui mis tahes argumendi x väärtuse korral kehtib f (−x) = −f (x).
​​Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes.

Paarisfunktsioonid
Paaritud funktsioonid

Pöördfunktsioon

Kui argumendile x1 on rakendatud funktsioon f (x), siis rakendades saadud tulemusele pöörd­funktsiooni f−1(x) saame tulemuseks uuesti x1 ehk f−1[f (x1)] = x1. 

Pöördfunktsiooni saab leida vaid funktsioonile, mille puhul igale y väärtusele vastab üks x väärtus.

Funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes.

Funktsiooni määramis­piirkond ja muutumis­piirkond on vastavalt pöörd­funktsiooni muutumis­piirkond ja määramis­piirkond.

Pöördfunktsioonid
Seotud sisu
Muud tegevused

Tuletis

Funktsiooni f (x) tuletis f  ′(x)

Funktsioon f (x)

Tuletis f ′(x)

xn

n ⋅ xn – 1

ex

ex

ln (x)

\frac{1}{x}

const

0

Funktsioonid f (x) ja g (x) on järgevates valemites tähistatud

  • f (x) = u
  • g (x) = v  

Korrutise tuletis

[f (x) ⋅ g (x)]' = f '(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g '(x)

(u ⋅ v)' = u' ⋅ v + u ⋅ v'

Jagatise tuletis

\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]'=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{\left[g\left(x\right)\right]^2}

\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}

Seotud sisu
Muud tegevused

Funktsiooni uurimine

Tabelis on kirjeldatud kõiki funktsiooni uurimiseks vajalikke samme.

Kõikide piirkondade ja punktide puhul tuleb arvestada, et need peavad asuma funktsiooni määramispiirkonnas.

Otsitav omadus

Tähis

Kuidas leida

Määramis­piirkond

X

Võta kõikide reaalarvude hulk ning arva sealt välja vahemikud, kus funktsiooni väärtust ei saa arvutada. Sellised vahemikud on näiteks kohad, kus

  • ruutjuure all on negatiivne arv,
  • toimub jagamine nulliga.

Tähelepanelik tuleb olla logaritmfunktsioonide puhul, sest logaritmitav ja logaritmi alus peavad olema rangelt positiivsed ning alus ei tohi olla üks.

Null­kohad ja null­punktid

X0

Nullkohtade leidmiseks lahenda võrrand f (x) = 0.
Kui võrrandi lahendid ehk nullkohad on x1, x2, ..., siis on nullpunktid A(x1; f (x1)), B(x2; f (x2)) jne.​

Positiivsus- ja negatiivsus­piirkond

X+
X–​

Lahenda vastavalt võrratused f (x) > 0 ning f (x) < 0.

Ekstreemum­kohad, ekstreemumid ja ekstreemum­punktid

Xe

Lahenda võrrand f ′(x) = 0.
​Võrrandi lahendid, x1, x2, ... võivad olla ekstreemum­­kohad.
​Funktsiooni väärtused, f (x1), f (x2), ... neil kohtadel on ekstreemumid.
​Ekstreemumpunktid on vastavad punktid A(x1; f (x1)), B(x2; f (x2)), jne.

Miinimum- ja maksimum­kohad

Xmin
Xmax​

Miinimum- ja maksimumkohad on vastavalt ekstreemumkohad, kus f ″(x) > 0 ning f ″(x) < 0.
​Miinimumid ja maksimumid on funktsiooni väärtused miinimum- ja maksimumkohtadel.

Kasvamis- ja kahanemis­vahemik

X↑
X↓​

Kasvamisvahemike leidmiseks lahenda võrratus f ′(x) > 0 ning
kahanemisvahemike leidmiseks võrratus f ′(x) < 0.
​Tasub meeles pidada, et kasvamis- ja kahanemisvahemikke ei tohi kirjutada ühendina.

Käänukohad

Xk

Käänukohtade leidmiseks lahenda võrrand f ″(x) = 0.
​Käänukohad on võrrandi lahendid x1, x2, ... 
​Käänupunktid on ​​A(x1; f (x1)), B(x2; f (x2)), jne.

Kumerus- ja nõgusus­piirkond

X ⏜
X ⏝ ​

Kumerus- ja nõgusus­piirkondade leidmiseks lahenda vastavalt võrratused f ″(x) > 0 ning f ″(x) < 0.

Seotud sisu
Muud tegevused

Joone puutuja

Joone puutuja võrrandi leidmiseks läbi järgnevad sammud:

  1. Võta joont kirjeldavast funktsioonist või võrrandist tuletis.
  2. Kohal x0 on puutuja tõus k tuletise väärtus kohal x0 ehk

k = f  '(x0).

  1. Sea tingimus puudutatava punkti (x0; y0) läbimiseks ning leia selle abil joone puutuja algordinaat b.
  2. Puutuja võrrand esita kas kujul y = kx + b või sirge üldvõrrandina ehk kujul Ax + By + C = 0.

Proovi seda teha leides joone y = −x2 + 3x + 3 puutujasirge võrrand kohal x0 = 2.



  2.  


Lahendus
  1. Leiame funktsiooni tuletise.

y ' (x) = –2x + 3

  1. Seega otsitud kohal on puutuja tõus:

y ' (2) = −2 ⋅ 2 + 3 = −1

  1. Funktsiooni väärtus sellel kohal avaldub:

y(2) = −(2)2 + 3 ⋅ 2 + 3 = 5

  1. Selle kõik kokku pannes leiame puutujasirge võrrandi kohas x = 2:

y = −1(x − 2) + 5
y ​= −x + 7

Seotud sisu
Muud tegevused