Konspekt funktsioonid (2)

  • Määramata integraal
  • Kõvertrapets
  • Kahe joone vahelise pinnatüki pindala
Seotud sisu
Muud tegevused

Määramata integraal

Definitsioon

Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse sellist algfunktsiooni F(x) ja integreerimis­konstandi C summat, mille tuletis võrdub funktsiooniga f (x).

Integreerimis­konstant C

Funktsioonist kaovad tuletise võtmisel temas sisalduvad lineaarselt liidetud konstandid. Seetõttu tekib pöörd­operatsioonil (integreerimisel) avaldisse integreerimis­konstant C.

  • Astme­funktsioon (n ≠ –1)

∫ xn dx =

\frac{x^{n+1}}{n+1}+C

  • Astme­funktsioon (n = –1) x^{-1}=\frac{1}{x}

\int_{\ }^{\ }\frac{1}{x}\mathrm{d}x=

\ln\left|x\right|+C

  • Konstant

∫ a dx =

ax + C

  • Eksponent­funktsioon

∫ ex dx =

ex + C

  • ∫ määramata integraal
  • x integreerimismuutuja
  • C integreerimiskonstant
  • n astendaja
  • a konstant

­Konstandi väljatoomine­
​inte­graali seest

∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx

Funktsioonide summa või vahe integraal

∫ [f (x) ± g (x)] dx
​=
​∫ f (x) dx ± ​∫ g (x) dx

Seotud sisu
Muud tegevused

Kõvertrapets

Kõvertrapetsiks nimetatakse tasandilist kujundit, mis on piiratud x-telje lõiguga [a; b], funktsiooni f (x)graafikuga sellel lõigul ning x-teljega ristuvate lõikudega, mis jäävad funktsiooni graafiku ja x-telje vahele.

Need lõigud on trapetsi alusteks ning lõik [a; b] ja funktsiooni graafiku osa on haaradeks.

Kõvertrapetsi pindala

Määratud integraali geomeetriliseks tõlgenduseks on kõvertrapetsi pindala:

S=\left|\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x\right|

Iga kinnise kõveraga piiratud kujundi saab jaotada kõvertrapetsiteks.

"Nahkhiire" pindala kõvertrapetsite kaudu

Newton-Leibnizi valem

\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right)

  • a alumine raja
  • b ülemine raja
  • f (x) integreeritav funktsioon
  • F (b) algfunktsiooni väärtus kohal b
  • F (a) algfunktsiooni väärtus kohal a

Newton-Leibnizi valemiga saab leida ka kõvertrapetsi pindala. Määratud integraali leidmise vahesammu võib kirjutada ka kui

F x a b = F b - F a ,

kus F (x) on integreeritava funktsiooni algfunktsioon.

Näide

Kui leiame integraali \int_1^33x^2\mathrm{d}x, siis on integreeritav funktsioon f (x)=3x2.

Selle funktsiooni algfunktsioon on F (x) = x3 + C.

Integraali väärtus Newton-Leibnizi valemi järgi on

\int_1^23x^2\mathrm{d}x=F\left(2\right)-F\left(1\right)=
=\left[2^3+C\right]-\left[1^3+C\right]=7.​

Seotud sisu
Muud tegevused

Kahe joone vahelise pinnatüki pindala

S=\int_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\mathrm{d}x,

kus

  • a kujundit vasakult piirav joon või lõikepunkti x-koordinaat
  • b kujundit paremalt piirav joon või lõikepunkti x-koordinaat
  • f (x) kujundit ülalt piirava funktsiooni graafik
  • g (x) kujundit alt piirava funktsiooni graafik
Seotud sisu
Muud tegevused