Harjutusülesanded. Funktsiooni uurimine

Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 1

  1. Leia jooniselt funktsiooni nullkohad.
Vihje
Funktsiooni nullkohtadeks nimetatakse funktsiooni graafiku ja x-telje lõikepunktide x-koordinaate. Nullkohad märgitakse loogeliste sulgude vahele ja eraldatakse semikooloniga.
  1. Leia jooniselt funktsiooni positiivsuspiirkond.
Vihje
Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse selliste argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on positiivsed. Selles piirkonnas asetseb graafik ülalpool x-telge.
Kuna positiivsuspiirkond koosneb siin kahest vahemikust, siis märgitakse need ümarsulgudesse ja vahele kirjutatakse ühendi märk ∪ (hulkade liitmine).
  1. Leia jooniselt funktsiooni negatiivsuspiirkonnad.
Vihje
Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse selliste argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtused on negatiivsed. Selles piirkonnas asetseb graafik allpool x-telge.
Kuna negatiivsuspiirkond koosneb siin kahest vahemikust, siis märgitakse need ümarsulgudesse ja vahele kirjutatakse ühendi märk ∪ (hulkade liitmine).
  1. Leia funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x tuletis.
  2. Arvuta funktsiooni f (x) ekstreemum­kohad kümnendiku täpsusega (x1 < x2).
Vihje
Ekstreemumkohtade x1 ja x2 leidmiseks lahenda võrrand
f'(x) = 0.
Leitud nullkoht on ekstreemumkoht vaid siis, kui sellisel kohal läheb kasvamine üle kahanemiseks või vastupidi ehk tuletis muudab märki.
  1. Leia funktsiooni kasvamisvahemikud. Kasuta eelmises punktis leitud ligikaudseid ekstreemumkohti.
Vihje
Kasvamisvahemike leidmiseks lahenda võrratus
f'(x) > 0
või kasuta ülesande alguses antud joonist ning leia millistes vahemikes argumendi x väärtuse kasvamisel suureneb ka funktsiooni väärtus.
NB! Kui kasvamis- või kahanemisvahemikke on mitu, tuleb nad eraldi kirja panna, mitte esitada hulkade ühendina.
  1. Leia funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x teine tuletis.
Vihje
Funktsiooni teine tuletis on esimesest tuletisest leitud tuletis.
  1. Määra teise tuletise abil leitud ekstreemum­kohtade liik.
    • ⇒
    • ⇒
Vihje
Funktsiooni maksimumkohas on teise tuletise väärtus selles kohas negatiivne ja miinimumkohas on teise tuletise väärtus selles kohas positiivne.
  1. Koosta funktsiooni f (x) = x3 + 3x2 – 4x graafikule punktis (–1; 6) joonestatud puutuja võrrand.
Vihje
1. Puutuja tõus on võrdne tuletise väärtusega puutepunktis.
2. Koosta sirge võrrand tõusu ja ühe punkti järgi ning teisenda see kujule
y = kx + b.
Lahendus

f(x) = x3 + 3x2 – 4x

  1. Nullkohad jooniselt:
    • X0 ={–4; 0; 1}
  2. Positiivsuspiirkonnas funktsiooni väärtused positiivsed (graafik asub ülalpool x-telge).
    • X+ = (–4; 0) ∪ (1; ∞)
  3. Negatiivsuspiirkonnas funktsiooni väärtused negatiivsed (graafik asub allpool x-telge).
    • X– = (–∞; –4) ∪ (0; 1)
  4. Funktsiooni tuletis:
    f​ ′(x) = (x3)′ + (3x2)′ – (4x)′ =
    = 3x3–1 + 3 ⋅ 2x2–1​ – 4 ⋅ x1–1
    • f ′(x) = 3x2 + 6x – 4
  5. Ekstreemumkohtade leidmiseks lahendame võrrandi f ′(x) = 0.
    3x2 + ​6x – 4 = 0
    x_1=\frac{-6-\sqrt{84}}{6}
    x_2=\frac{-6+\sqrt{84}}{6}
    • ​​x1 ≈ –2,5
    • x2 ≈ 0,5
  6. Kasvamisvahemiku leidmiseks lahendame võrratuse f ′(x) > 0 või kasutame varem leitud ekstreemumkohti ja loeme vastuse algselt  jooniselt.
    • X1↑ = (–∞; –2,5)
    • X2↑ = (0,5; ∞)
  7.  Teine tuletis on tuletisest leitud tuletis
    f​ ″(x) = (3x2 + 6x – 4)′ = 3 ⋅ 2x2–1+ 6 ⋅ x1–1 ​
    •  f​ ″(x) = 6x + 6​
  8. Ekstreemumkohtade liigi määrab teise tuletise väärtuse märk selles kohas:
    • f ″(–2,5) = 6 · (–2,5) + 6 = –9 < 0 ⇒ max
    • f ″(0,5) = 6 ⋅ 0,5 + 6 = 9 > 0 ⇒ min
  9. Puutuja tõus on võrdne tuletise väärtusega puutepunktis:
    k = f ​′(–1) = 3 ⋅ (−1)2+ 6 ⋅ (−1) − 4 =
    ​= 3 − 6 − 4 = −7
    Koostame sirge võrrandi tõusu ja ühe punkti järgi:
    ​y − 6 = −7(x + 1)
    ​y − 6 = −7x − 7
    • y = −7x − 1​
Seotud sisu
Muud tegevused

Ülesanne 2

Antud on funktsioon y = 4x – x2.

  1. Arvuta funktsiooni nullkohad (x1 < x2).
    • x1 = 
    • x2 = 
Vihje
Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb lahendada võrrand
y = 0 .
  1. Leia funktsiooni positiivsus­piirkond.
Vihje
Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahenda võrratus
y > 0 .
  1. Arvuta funktsiooni maksimum­punkti koordinaadid.
Vihje
1. Ruutfunktsiooni ekstreemumpunktiks on parabooli haripunkt.
2. Haripunkti x-koordinaadi leidmiseks leia nullkohtade aritmeetiline keskmine.
3.  Haripunkti y-koordinaadi leidmiseks asenda leitud x-koordinaat funktsiooni avaldisse.
  1. Leia funktsiooni tuletis.
  2. Leia funktsiooni kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
Vihje
1. Funktsiooni kasvamisvahemiku leidmiseks lahenda võrratus
y' > 0.
2.  Funktsiooni kahanemisvahemiku leidmiseks lahenda võrratus
y' < 0.
Lahendus

y = 4x – x2

  1. Funktsiooni nullkohtade leidmiseks tuleb lahendada võrrand y = 0.
    4x – x2 = 0
    x(4 – x) = 0
    • x1 = 0
    • x2 = 4​​
  2. Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendame võrratuse y > 0.
    –x2 + 4x > 0
    Skitseerime allapoole avaneva parabooli​ nullkohtadega 0 ja 4. Positiivsuspiirkonnas on funktsiooni väärtused positiivsed.
    • X+ = (0; 4)
  3. Ruutfunktsiooni ekstreemum­punktiks on parabooli haripunkt.
    ​Haripunkti x-koordinaadi leidmiseks leiame nullkohtade aritmeetiline keskmise.
    ​x_{\max}=\frac{0+4}{2}=2
    Haripunkti y-koordinaadi leidmiseks asendame leitud x-koordinaadi funktsiooni avaldisse.​
    ymax = 4 ⋅ 2 – 22 = 8 – 4 = 4
    • ​Emax = (2; 4)
  4. Funktsiooni tuletis:
    y​′(x) = (4x)′ – (x2)′
    ​y'(x) = 4 ⋅ x1 − 1 − 2x2 − 1
    • y′(x) = 4 – 2x
  5. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemiku saab vastavalt võrratuste y′ > 0 ja y′ < 0 lahendamisel.

4 – 2x > 0
4 > 2x
2x < 4
x < 2​​​

  • X↑ = (–∞; 2)

4 – 2x < 0
​4 < 2x
​2x > 4
​x > 2​

  • X↓ = (2; ∞)


​​​​

Seotud sisu
Muud tegevused

Riigeksamite ülesanded

Joonisel on funktsiooni 
f x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 graafik
ja kolm selle graafiku puutujat, mille tõusud on –1, 1,5 ja 3.

  1. Lohistage iga puutuja juurde selle tõus.
  • k=-1
  • k=1,5
  • k=3
  1. Leidke funktsiooni f (x)
    1. tuletis
    2. kasvamis- ja kahanemis­vahemikud.
      • x1 = 
      • x2 =  
  2. Koostage funktsiooni f (x) graafiku puutuja võrrand kohal x0 = 4.
    • k = 
    • y0 = 
Vastused
  1. Funktsiooni f(x)

On antud funktsioon f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 10.

  1. Leidke funktsiooni 
    1. tuletis (2 p)
    2. graafiku ekstreemumpunktid ja määrake nende liik (5 p).
  2. Funktsiooni f (x) graafikule on kohal x0 = 4 joonestatud puutuja. Koostage selle puutuja võrrand.
Vastused
  1. Funktsiooni f (x)
    1. tuletis 
    2. ekstreemumpunktid
  2. Puutuja võrrand 

On antud funktsioon f\left(x\right)=\frac{1}{6}x^3-3x^2.

  1. Leidke selle funktsiooni
    1. tuletis (2 p)
    2. kahanemispiirkond (4 p).
  2. Funktsiooni graafikule kohal x0  =  –1 joonestatud puutuja moodustab x-telje positiivse suunaga nurga α. Arvutage nurk α (4 p).
    • = 6,5
Vastused
  1. Funktsiooni f (x)

Ilmajaamas mõõdeti keskööst keskpäevani (st 12 tunni jooksul) õhutemperatuuri. Sõltuvalt ajast x (tundides) on õhutemperatuur y(°C) muutunud seaduse y = 0,01x3 – 0,05x2 – 0,77x + 7 järgi (vt joonist).

  1. Arvutage õhutemperatuur kell 10.00 (2 p).

Kui y = 3,15, siis on antud võrrandil kolm lahendit:

  • x_1=5
  • x_2=\sqrt{77}
  • x_3=-\sqrt{77}
  1. Uurige temperatuurigraafikut ning arvutage, mitu tundi ja mitu minutit oli temperatuur alla 3,15 °C (3 p).
  2. Mis kell oli õhutemperatuur kõige madalam? Arvutage see temperatuur (5 p).
Vastused
  1. Kell 10.00 oli temperatuur .
  2. Temperatuur oli alla 3,15 ℃ ligikaudu  tundi ehk
     tundi  minutit.
  3. Kõige madalam temperatuur  oli kell .

On antud funktsioon f (x) = x3 – 1,5x2 – 6x.

  1. Leidke selle funktsiooni kahanemis­vahemik ja maksimum­punkti koordinaadid.
    •  (x1 < x2)
  2. Koostage funktsiooni f (x) graafikule kohal x0 = 1 tõmmatud puutuja võrrand.
    • puutepunkt
Vastused

On antud funktsioon f (x) = x3 – 3x2.

  1. Arvutage funktsiooni f (x) kasvamis- ja kahanemis­vahemikud ning miinimum­punkti koordinaadid.
    • x1 =  (x1 < x2)
    • x2 = 
  2. Leidke funktsiooni f x) graafikule kohal x0 = 3 tõmmatud puutuja tõus.
Vastused
  1.  

  2. k = 

On antud funktsioon f (x) = x3 + 3x2 + 2.

  1. Leidke funktsiooni f (x) kahanemis­vahemik.
    •  (x1 < x2)
  2. Leidke funktsiooni f (x) graafiku miinimum­punkti koordinaadid.
  3. Koostage funktsiooni f (x) graafikule kohal x0 = 1 joonestatud puutuja võrrand.
    • k = 
Vastused
  1. Arvutage funktsiooni f (x) = x2 – 2x – 3 nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik.
  2. On antud funktsioon g (x) = 1,5x2 – 0,5x3. Arvutage selle funktsiooni ekstreemum­kohad ja leidke kasvamis­vahemik.
    • x1 =  (x1 < x2)
    • x2 = 
Vastused
Vihje
Jälgige, kas tegemist on hulga, punkti või vahemikuga ja sisestage õiged sulud.


Funktsioni f(x) = x2 – 2x – 3 graafik

On antud funktsiooni f\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{2}{3}x^2 graafik (vt joonist)

  1. Leidke funktsiooni nullkohad ja positiivsuspiirkond.
  2. Arvutage funktsiooni miinimum­­punkti koordinaadid.
  3. Arvutage kõikide selliste punktide koordinaadid, mille korral kehtib võrdus f ′(x) = x.
Vastused

  3.  (x1 < x2)
Seotud sisu
Muud tegevused