Harjutusülesanded. Integraal

1. Alumine raja a = 0
2. Ülemine raja b = 2
3. S=\int_0^2\left(x^2-6x+9\right)\mathrm{d}x=
   ​$={\left.\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x\right)\right|}_0^2=$
   =\frac{2^3}{3}-3\cdot2^2+9\cdot2-​
   -\frac{0^3}{3}-3\cdot0^2+9\cdot0=
   ​=\frac{26}{3}-0=\frac{26}{3}\ \mathrm{\left(pü\right)}​
   

Pindala leidmiseks tuleb integraal tükeldada kaheks S_pos (S₁) ja S_neg (S₂). Kogu pindala saamiseks liidetakse negatiivse pindala absoluutväärtus või lahutatakse negatiivne pindala.

S = S_pos + |S_neg|
S = S_pos – S_neg

1. S_1=\int_{-2}^0\left(x^3-4x\right)\mathrm{d}x=
   $={\left.\left(\frac{x^4}{4}-2x^2\right)\right|}_{-2}^0=$
   =0-\left(4-8\right)=4\ \mathrm{\left(pü\right)}
2. S_2=\int_0^2\left(x^3-4x\right)\mathrm{d}x=
   $={\left.\left(\frac{x^4}{4}-2x^2\right)\right|}_0^2=$
   =\left(4-8\right)-0=-4\ \mathrm{\left(pü\right)}
3. S=4+\left|-4\right|=8\mathrm{\ \left(pü\right)}või
   ​S=4-\left(-4\right)=8\ \mathrm{\left(pü\right)}

1. Leiame funktsioonide lõikepunktide x-koordinaadid ehk integreerimis­rajad.
   –x² + 4x = x² – 4x + 6
   2x² – 8x + 6 = 0
   x₁ = 1 (a), x₂ = 3​ (b)​​
2. Joonisel on 2 kõvertrapetsit, otsitav pindala on nende vahe.

1. \int_1^3\left(-x^2+4x-x^2+4x-6\right)\mathrm{d}x=
   ​\int_1^3\left(-2x^2+8x-6\right)\mathrm{d}x=
   $={\left.\left(-\frac{2x^3}{3}+4x^2-6x\right)\right|}_1^3=$
   ​=-\frac{2\cdot3^3}{3}+4\cdot3^2-6\cdot3-
   ​-\left(-\frac{2}{3}+4-6\right)=
   ​=-18+36-18+\frac{2}{3}-4+6=\frac{8}{3}
   ​​