*Объем тела как интеграл

Курс „Стереометрия”

В основной школе мы узнали, как вычислить объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара, однако соответствующие формулы не были доказаны. Рассмотрим теперь, как получены эти формулы, и выясним, как найти объем тела любой формы.

Введем для рассматриваемого тела прямоугольную систему координат так, чтобы его основания были перпендикулярны оси Ох, а высота тела располагалась на этой оси (рис. 2.51). Если высота тела равна h, то можно считать, что тело заключено между плоскостями х = 0 и х = h.

Рис. 2.51

Пересечем тело плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс и расположенной на расстоянии х от левого основания. Площадь S полученного сечения можно рассматривать как функцию от аргумента х, так как каждому значению расстояния х соответствует определенное значение площади S. Обозначим площадь рассматриваемого сечения через S(x).

Можно показать, что если известна высота тела h и площадь его перпендикулярного сечения S(x) как непрерывная функция от аргумента х, то объем тела выражается формулой

$V = \int_{0}^{h} S (x) d x$ .

Пример.

В автосервисе для фиксирования колес автомобиля употребляются колодки, изображенные на рисунке 2.52. Сколько таких колодок можно отлить из 1 м³ сплава?

Рис. 2.52

Решение. Боковая проекция колодки – криволинейная трапеция, соответствующая графику функции y=\frac{1}{8}x^2, а фронтальная проекция – прямоугольник со сторонами 2 дм и \frac{1}{8}x^2\ \mathrm{дм}.Поэтому соответствующая точке х площадь сеченияS\left(x\right)=2\cdot\frac{1}{8}x^2=\frac{1}{4}x^2.Объем колодкиV = \int_0^4S\left(x\right)dx = \int_0^4\frac{1}{4}x^2dx = ${\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}}_{0}^{4}$ = \frac{16}{3}\ \left(\mathrm{дм}^3\right).