Курс „Стереометрия”
Призмой называется многогранник, у которого две грани являются выпуклыми многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммами, имеющими по одной общей стороне с каждым из этих многоугольников.
Лежащие в параллельных плоскостях многоугольники называются основаниями призмы, их стороны – сторонами основания (или ребрами при основании), параллелограммы – боковыми гранями и общие стороны боковых граней – боковыми ребрами. Все боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
Перпендикуляр, соединяющий плоскости оснований призмы, а также его длина, называется высотой призмы.
Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани (рис. 2.55, а). Аналогично определяется диагональ любого выпуклого многогранника. Если призма пересечена плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, то получившееся сечение называется диагональным сечением (рис. 2.55, б). Диагональное сечение проходит также через соответствующие диагонали обоих оснований.
 Рис. 2.55 | ||||||
Различные виды призм
1. Классификация призм по числу углов основания: треугольная, четырехугольная и т. д. призма. Если основанием призмы является n-угольник, то призма называется n-угольной призмой.
2. Классификация по виду боковых граней: прямая призма и наклонная призма.
Прямой призмой называется призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию (рис. 2.56, а). Боковыми гранями такой призмы являются прямоугольники. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Призма, боковые ребра которой не перпендикулярны к основанию, называется наклонной призмой (рис. 2.56, б). Боковыми гранями такой призмы являются параллелограммы, углы которых не являются прямыми.
 Рис. 2.56 | ||||||
3. Классификация прямых призм по виду многоугольника, лежащего в основании: правильная призма и неправильная призма.
Правильной призмой называется прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Основанием правильной треугольной призмы является равносторонний треугольник, а основанием правильной четырехугольной призмы – квадрат. На рисунке 2.57 изображены правильная шестиугольная призма и ее основание.
 Рис. 2.57 | ||||||
4. Некоторые четырехугольные призмы имеют собственные наименования.
Прямоугольный параллелепипед – это прямая призма, у которой как основания, так и боковые грани являются прямоугольниками.
Куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами.
Прямой параллелепипед – это прямая призма, у которой основания являются параллелограммами, а боковые грани – прямоугольниками.
Являются ли прямоугольный параллелепипед и куб прямыми параллелепипедами?
Площадь поверхности и объем призмы
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней. Из курса основной школы мы знаем, что
площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и площадей двух оснований.
Формулу объема прямой призмы можно вывести с помощью интеграла. Пусть высота призмы равна h и площадь основания Sосн. Выберем прямоугольную систему координат, в которой высота призмы (боковое ребро) расположена на оси Ох. Тогда основания призмы перпендикулярны этой оси (рис. 2.58). Пусть площадь параллельного основаниям сечения, соответствующего значению х, равна S(x).
 Рис. 2.58 | ||||||
Следовательно,
V =
Мы получили формулу, известную из курса основной школы: объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.
V = Sоснh.
Чтобы построить эскиз призмы на плоскости, можно действовать так (рис. 2.59):
- сделаем эскиз фронтальной проекции передней грани призмы, учитывая известные пропорции длин сторон этой грани;
- изобразим остальные ребра, исходящие из вершин передней грани. При этом учитываем, что параллельные в действительности ребра должны быть параллельными и на чертеже. В случае прямоугольного параллелепипеда упомянутые ребра можно провести под углом 45° к боковым ребрам и по длине на треть короче;
- изобразим остальные боковые ребра и ребра оснований (задние невидимые ребра изобразим пунктирными линиями).
Пример.
Семья устроила в своем саду высокую черничную грядку, основанием которой является прямоугольник со сторонами 1 м и 6 м. Вокруг грядки установили деревянный бортик высотой 50 см.
 Рис. 2.60 | ||||||
- Найдем, сколько квадратных метров древесины потребовалось для изготовления бортика.
Из данных следует, что бортик имеет форму прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.60). Выразим все данные размеры в метрах и получим, что площадь боковой поверхности параллелепипеда Sбок = 2(1 + 6) ⋅ 0,5 = 7 (м2). Значит, потребовалось 7 м2 древесины. Если бортик изготавливается из досок, то нужно сделать дополнительные вычисления, в зависимости от длины и ширины имеющихся в продаже досок.
- Для выращивания черники лучше всего подходит кислая почва – обогащенный универсальный торф, который продается в 75-литровых мешках. Найдем, сколько мешков торфа потребовалось для заполнения ограждения грядки на высоту 40 см.
Требуемый объем торфа V = 1 · 6 · 0,4 = 2,4 (м3). Как мы знаем, 1 литр = 1 дм3, значит, объем одного мешка равен 75 дм3. Выразим 2,4 м3 в кубических дециметрах: 2,4 м3 = 2,4 · 1000 дм3 = 2400 дм3. Для заполнения грядки потребовалось 2400 : 75 = 32 мешка торфа.
Ответ: потребовалось не менее 7 м2 древесины и 32 мешка торфа.
Упражнения
- параллелепипедом?
- прямоугольным параллелепипедом?
- кубом?
- треугольная призма?
Ответ: треугольная призма имеет диагоналей. - четырехугольная призм?
Ответ: четырехугольная призма имеет диагонали. - пятиугольная призма?
Ответ: пятиугольная призма имеет диагоналей. - n-угольная призма?
Ответ: n-угольная призма имеетдиагоналей.
Число граней | Число вершин | Число ребер | |
треугольная призма? | |||
четырехугольная призма? | |||
пятиугольная призма? | |||
n-угольная призма? |
- Сколько граней и сколько ребер имеет прямая призма, у которой 46 вершин?
Ответ: граней и ребер. - Сколько вершин и сколько ребер имеет прямая призма, у которой 27 граней?
Ответ: вершин и ребер. - Сколько граней и сколько вершин имеет призма, у которой 42 ребра?
Ответ: граней и вершин. - Каково наименьшее возможное число граней призмы? число вершин? число ребер?
Ответ: граней, вершин, ребер. - * Призма имеет p вершин, q ребер и r граней. Найдите соотношение между числами p, q и r. Докажите формулу Эйлера
p+r-q=2 .
Ответ: d =
 Рис. 2.61 | ||||||
Ответ:
Ответ: площадь диагонального сечения равна cм2.
Ответ: Sбок = м2
Ответ: Sполн = cм2
Ответ: диагонали призмы равны
Ответ: Sполн =
- Какими правильными равными многоугольниками можно покрыть без пересечений или пропусков всю площадь сотов? Начните со случая треугольников, затем рассмотрите квадраты и т. д.
- Очевидно, что пчелы выбрали такую форму сотов, при которой на их постройку уходит меньше всего воска. От чего зависит количество воска, требующееся для постройки сотов, при фиксированных высоте, толщине стенки и площади основания ячейки сотов? Форму основания ячейки мы уже выяснили.
- Возьмите в качестве площади основания ячейки сотов 1 единицу площади. Вычислите периметры всех многоугольников, найденных в пункте 1, при условии, что площадь многоугольника равна 1. Для какого многоугольника ячейка сотов является призмой с наименьшей площадью боковой поверхности?
Ответ: ребро этого куба равно см.
Ответ: ребро такого куба равно м.
Ответ: высота этого резервуара должна быть м.
Ответ: высота уровня воды будет дм.
Ответ: незаполненным осталось % объема бака.
 Рис. 2.63 | ||||||
Ответ: для постройки этой насыпи потребуется м3 грунта.
Ответ: для постройки каждых 10 м такого шоссе нужно привезти м3 грунта.
Ответ: за 1 час через перпендикулярное сечение канала протекает м3 воды.
Ответ: V = м3
