Курс „Стереометрия”
Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань является выпуклым многоугольником, а все остальные грани – треугольниками с общей вершиной.
Указанный многоугольник называется основанием пирамиды, а треугольники с общей вершиной – ее боковыми гранями. Пирамида, основанием которой является n-угольник, называется n-угольной пирамидой. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к ее основанию, а также длина этого отрезка, называется высотой пирамиды (рис. 2.64).
Рис. 2.64 | ||||||
Пирамида не имеет диагоналей. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и одну из диагоналей основания, называется диагональным сечением (треугольник ACF, рис. 2.65).
Рис. 2.65 | ||||||
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Основание высоты правильной пирамиды (т. е. проекция вершины на плоскость основания) расположено в центре ее основания, другими словами, равноудалено от всех вершин основания и является центром окружности, описанной около основания.
Все боковые грани правильной пирамиды равны между собой.
Прямая, проходящая через вершину и центр основания правильной пирамиды, называется осью этой пирамиды.
Высота боковой грани, проведенная из вершины правильной пирамиды к стороне основания, называется апофемой пирамиды (отрезок m, рис. 2.64).
Построим эскиз пирамиды на плоскости (рис. 2.66):
а) изобразим эскиз основания;
б) отметим на основании его центр (например, точку пересечения диагоналей квадрата) и проведем из этой точки высоту пирамиды;
в) изобразим боковые ребра.
Свойства сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию
Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной ее основанию, то в сечении получится некоторый многоугольник (рис. 2.67, а).
Рис. 2.67, a |
||||||
СВОЙСТВО 1. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию.
Например, на рисунке 2.67 а) многоугольники ABCDEF и A1B1C1D1E1F1 подобны:
ABCDEF ∼ ΔA1B1C1D1E1F1.
Соответственные углы подобных многоугольников равны и соответственные стороны, прилежащие к равным углам, пропорциональны.
СВОЙСТВО 2. Отношение площади основания пирамиды к площади ее параллельного основанию сечения равно отношению квадратов высот соответствующих пирамид.
Рис. 2.67, б |
||||||
* Доказательство
Проведем в пирамиде высоту SO (рис. 2.67, б) и пусть О1 – основание высоты пирамиды, отсекаемой от исходной пирамиды данным сечением. Обозначим через Sосн площадь основания исходной пирамиды и через Sc – площадь сечения.
Треугольники SB1O1 и SBO подобны, так как соответственные углы этих треугольников равны. Поэтому равны и отношения соответственных сторон:
Подобные треугольники образуются и на всех боковых гранях. Например, в случае грани ABS справедливо равенство
Так как левые части этих равенств одинаковы, то равны между собой и правые части, т. е.
Площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответственных сторон. Следовательно,
Учитывая соотношение
Упражнения
- прямоугольник
- ромб
- равнобедренная трапеция
- прямоугольная трапеция
- параллелограмм
- треугольник
- прямоугольник?
- прямоугольный треугольник?
- равносторонний треугольник?
- Отрежьте квадрат от листа бумаги формата А4.
- Перегните квадрат по 2 диагоналям и по 2 отрезкам, соединяющим середины противолежащих сторон (рис. 2.68, см. с. 101). После каждого сгибания лист бумаги нужно расправлять; перегибать нужно все время в одну сторону.
 Рис. 2.68 | ||||||
- Слегка перегните квадрат по прямым, соединяющим середины его смежных сторон (рис. 2.68, отрезки АС, СЕ и т. д.). Эти прямые отделят в каждом углу квадрата по равнобедренному прямоугольному треугольнику.
- Перегните устойчивыми линиями биссектрисы острых углов полученных в предыдущем пункте треугольников (прямую АК приложите к прямой АС и т. д.). В результате получится восьмиугольник ABCDEFGH.
- Докажите, что полученный восьмиугольник является правильным. Для этого найдите углы α и β.
- Вырежьте из квадрата получившийся восьмиугольник, оставив около одной из вершин небольшой „хвостик“, которым можно будет скреплять боковую поверхность пирамиды. Из той же вершины разрежьте восьмиугольник от этой вершины до его центра.
- Теперь из полученного восьмиугольника Вы можете сложить правильную треугольную, четырехугольную, ... , семиугольную пирамиду, т. е. именно такую, которая фигурирует в решаемой задаче. В сложенном виде (рис. 2.69) эту развертку удобно хранить между листами тетради.
 Рис. 2.69 | ||||||
Ответ: h =
Ответ: h = cм.
- треугольная.
Ответ: h = - четырехугольная.
Ответ: h = - шестиугольная.
Ответ: h =
Ответ: это сечение находится на расстоянии cм от основания.
Ответ: h = cм.
Ответ: Sсеч = cм2
Площадь поверхности и объем пирамиды
Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площади ее боковой поверхности и площади основания.
Площадь боковой поверхности находят как сумму площадей всех треугольников, составляющих боковую поверхность, т. е. боковых граней.
В случае правильной n-угольной пирамиды все боковые грани равны между собой. Площадь боковой поверхности Sбок выражается так:
Рис. 2.70 |
||||||
Чтобы найти площадь полной поверхности Sполн правильной n-угольной пирамиды, нужно к площади боковой поверхности прибавить еще площадь основания пирамиды
= = .
Как лучше запомнить эту формулу (или удобнее вычислять площадь полной поверхности)?
Из курса основной школы мы знаем факт, который сейчас докажем:
объем пирамиды равен одной третьей произведения площади ее основания на высоту: .
* Доказательство
Пусть высота пирамиды равна h и площадь основания – Sосн. Чтобы воспользоваться формулой, позволяющей найти объем тела с помощью интеграла, выразим площадь параллельного основанию сечения пирамиды как функцию S(x), где х – расстояние от этого сечения до вершины пирамиды (рис. 2.71). В силу свойств сечений плоскостями, параллельными плоскости основания пирамиды, получим, что
Заметим, что высота пирамиды h и площадь ее основания Sосн не зависят от значений переменной х. Эти числа (константы) можно вынести из-под знака интеграла.
Вычислим теперь объем пирамиды:
V =
 Рис. 2.71 | ||||||
Пример.
Палатка имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, площадь боковой поверхности которой 240 м2, а площадь основания – 144 м2.
- Вычислим сумму длин всех ребер.
- Найдем величину угла между основанием и боковой гранью палатки.
- Найдем объем палатки.
Решение. Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник и все боковые грани пирамиды равны между собой. В данном случае основанием является правильный четырехугольник, или квадрат. Сделаем чертеж и отметим на нем нужные величины (рис. 2.72, а).
 Joon. 2.72 | ||||||
- Найдем прежде всего сторону основания а. Из условия следует, что площадь основания пирамиды есть a2 = 144 и потому
a=\sqrt{144}=12\ \mathrm{\left(м\right)} .
Чтобы найти длину b бокового ребра, рассмотрим треугольники, являющиеся боковыми гранями. Эти треугольники – равнобедренные с основанием а и высотой m. Отсюда
S_{бок}=4\cdot\frac{am}{2}=2am=24m .
По условию задачи 24m = 240, откуда m = 10 (м).
Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является также и медианой (рис. 2.72, б). Поэтому длина b бокового ребра равна:
b =\sqrt{\left(0,5a\right)^2+m^2} = \sqrt{6^2+10^2} =\sqrt{136} ≈11,7\ \left(\mathrm{м}\right) . - Двугранный угол между гранью основания и боковой гранью палатки равен линейному углу a, образованному апофемой m боковой грани и расположенным на основании отрезком, параллельным стороне основания (рис. 2.72, а). Из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 2.72, в), получим, что
\cos\mathrm{\alpha}=\frac{0,5a}{m}=\frac{6}{10} и искомый угол\mathrm{\alpha}\approx53\degree . - Чтобы вычислить объем пирамиды, нужно найти ее высоту. Получим:
h =\sqrt{m^2-\left(0,5a\right)^2} =\sqrt{100-36} = 8 (м) и
V =\frac{1}{3}S_{осн}h =\frac{144\cdot8}{3} = 384 (м3).
Ответ: все ребра при основании пирамиды равны 12 м, боковые ребра – приблизительно 11,7 м, угол между основанием и боковой гранью приблизительно 53°, а объем пирамиды равен 384 м3.
Упражнения
Ответ: объемы призмы и пирамиды относятся как
Ответ: Sполн = дм2
Ответ: Sбок =
Ответ: Sбок = дм2
Ответ: Sполн =
Ответ: a = и m = cм или a = и m = cм.
Ответ: боковое ребро этой пирамиды равно
Ответ: длина стропил крыши м и для покрытия крыши потребуется м2 жести.
Ответ: на покрытие этой крыши уйдет листов жести.
Ответ: h = cм.
Ответ: V = cм3
Ответ: боковые ребра пирамиды равны
Ответ: первоначально объем пирамиды Хеопса был м3 , а угол наклона бокового ребра к плоскости основания был равен .
Ответ: V =
Ответ: V =
Ответ: V = cм3
Ответ: покрасить требуется
