Шар

Курс „Стереометрия”

Шаром называется тело, полученное при вращении круга (или полукруга) вокруг его диаметра.

Рис. 2.87

Любой из диаметров этого круга является осью, а центр круга – центром шара.

Всякое сечение шара плоскостью является кругом. Сечение шара плоскостью, проведенной через его центр, называется большим кругом этого шара (рис. 2.87).

Поверхность шара называется сферой. Все точки сферы равноудалены от центра шара.

Расстояние r от любой точки сферы до центра шара, а также соответствующий отрезок, называются радиусом шара.

Сфера является криволинейной поверхностью. Доказано, что

площадь сферы равна учетверенной площади большого круга: S=4πr2.

* Выведем формулу объема шара.

Рассмотрим на плоскости Оху окружность, заданную уравнением x^2+y^2=r^2 (рис. 2.88). При вращении соответствующего круга вокруг оси Ох образуется шар радиуса r. Из уравнения окружности y^2=r^2-x^2. Подставим выражение для у2 в формулу объема тела вращения V=\pi\int_a^b\left[f\left(x\right)\right]^2dx, (см. подстрочное примечание на с. 106) и получим:

V = \pi\int_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)dx = 2\pi\int_0^r\left(r^2-x^2\right)dx = 2πr2x-x330r = 2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi r^3.

Рис. 2.88

Почему интеграл в пределах от –r до r можно заменить удвоенным интегралом в пределах от 0 до r? *

Объем шара V=43πr3.

Пример.

Шар радиуса 35 см пересечен плоскостью на расстоянии 9 см от центра шара. Найдем площадь полученного сечения.

Решение. Сечение шара изобразим так, как на рисунке 2.89. Отметим на чертеже расстояние от плоскости сечения до центра шара ОА = 9 см и радиус шара ОВ = 35 см. Радиусом круга, полученного в сечении, является отрезок АВ, следовательно, площадь этого сечения S = π · AB2.

Из прямоугольного треугольника ОАВ получим, что

AB^2 = OB^2-OA^2 = 35^2-9^2 = 1144 см2 и

S = \pi\cdot AB^2 = 1144\pi\ \mathrm{см^2}.

Рис. 2.89

Ответ: площадь сечения равна 1144π см2.

Seotud sisu
Muud tegevused

Упражнения

Ответ: S =  дм2, V =  дм3

Ответ: S =  cм²

Ответ: радиус такого шара равен .

Во сколько раз увеличится:

  1. площадь сферы?
    Ответ: в  раз.
  2. объем шара?
    Ответ: в  раз.

На сколько процентов увеличится:

  1. площадь сферы?
    Ответ: на %.
  2. объем шара?
    Ответ: на %.

Ответ:  шаров.

Ответ: это сечение расположено на расстоянии  см от центра шара.

Ответ: отношение площади сечения к площади большого круга шара равно .

Ответ: плотность этого металла равна  \mathrm{\frac{г}{\mathrm{см^3}}}.

Плотность свинца равна \mathrm{7,3\ \frac{г}{\mathrm{см^3}}}.

Ответ: толщина стенок нового шара будет  см. Масса ядра равна  кг.

Ответ: потребуется  м ткани.

Ответ: в этой порции  дл мороженого.

Рис. 2.90

Ответ: придется срезать % древесины.

Рис. 2.91

Ответ: отношение площадей поверхностей цилиндра и шара равно , а отношение объемов – .

  1. площадей их поверхностей.
    Ответ: это отношение равно .
  2. их объемов.
    Ответ: это отношение равно .
Seotud sisu
Muud tegevused